TD — Séance 5 — L’IA qui doute

Probabilités, théorème de Bayes, réseaux bayésiens

TD de la séance 5 d’Introduction à l’intelligence artificielle : raisonner sous incertitude : probabilités, Bayes, réseaux bayésiens.
Auteur

Dr. El Hadji Bassirou TOURÉ · DMI/FST/UCAD

ImportantObjectif

Construire une jointe et en tirer marges et conditionnelles, appliquer le théorème de Bayes en table et enchaîner les mises à jour, mettre à jour une grille de croyances, décider d’indépendances par la d-séparation, et calculer par élimination de variables. Durée : une séance de TD.

NoteConventions

Une table de Bayes a une ligne par hypothèse et les colonnes prior, vraisemblance, produit, posterior ; la dernière ligne donne la somme des produits (l’évidence). Les probabilités sont données avec trois décimales, quatre pour les produits. Les observations successives sont indépendantes sachant l’hypothèse. Dans un réseau, toutes les variables sont booléennes (1 = vrai).

Exercice 1 : les pirogues de Kayar

Au quai de pêche de Kayar, un agent a noté pendant 300 jours l’état de la mer et la sortie des pirogues : mer calme, 150 jours de sortie et 10 jours à quai ; mer agitée, 60 et 40 ; forte houle, 6 et 34.

  1. Donner la distribution jointe \(P(\text{mer},\text{sortie})\) et vérifier que sa somme vaut 1.
  2. En déduire par marginalisation \(P(\text{mer})\) et \(P(\text{sortie}=\text{oui})\).
  3. Calculer \(P(\text{sortie}=\text{oui}\mid\text{mer})\) pour chaque état de la mer.
  4. Les pirogues sont restées à quai. Calculer \(P(\text{mer}\mid\text{non})\) pour chaque état ; quel état est le plus probable ?
  5. L’état de la mer et la sortie sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.
  6. Un pêcheur affirme : « par forte houle, on reste à quai 85 fois sur 100, donc 85 % des jours à quai sont des jours de houle. » Corriger.

Remplir le tableau :

mer \(P(m,\text{oui})\) \(P(m,\text{non})\) \(P(m)\) \(P(\text{oui}\mid m)\) \(P(m\mid\text{non})\)
calme
agitée
houle
total

Exercice 2 : le test rapide de la dengue à Kédougou

Un test rapide de la dengue a une sensibilité \(P(T^+\mid\text{malade})=0{,}90\) et un taux de faux positifs \(P(T^+\mid\text{sain})=0{,}04\). Il est employé dans deux contextes : pendant une épidémie à Kédougou, où la prévalence parmi les patients fiévreux est \(0{,}25\) ; en bilan de routine, où elle est \(0{,}01\).

  1. Calculer \(P(T^+)\) dans chaque contexte.
  2. Calculer la valeur prédictive positive \(P(\text{malade}\mid T^+)\) et \(P(\text{sain}\mid T^+)\) dans chaque contexte, puis remplir le tableau.
  3. En routine, la valeur prédictive positive est faible malgré une sensibilité de 90 %. Expliquer par le rôle du prior.
  4. Toujours en routine, un second test, indépendant du premier sachant l’état du patient, est positif. Calculer \(P(\text{malade}\mid T_1^+,T_2^+)\).
  5. Calculer le rapport de vraisemblance d’un test positif, et retrouver le résultat de (d) par la forme en cotes.
épidémie routine
prévalence
\(P(T^+)\)
\(P(\text{malade}\mid T^+)\)
\(P(\text{sain}\mid T^+)\)

Exercice 3 : les maux de tête de Moussa

Au centre de santé de la Médina, Moussa, 35 ans, consulte pour des maux de tête intenses. Le médecin retient trois hypothèses de priors \(P(\text{migraine})=0{,}5\), \(P(\text{palu})=0{,}3\), \(P(\text{hypertension})=0{,}2\). Il observe successivement :

observation migraine palu hypertension
\(E_1\) : fièvre à 38,5 °C 0,10 0,85 0,15
\(E_2\) : vomissements 0,40 0,60 0,20
\(E_3\) : TDR négatif 0,95 0,08 0,95
  1. Après \(E_1\) : dresser la table de Bayes (un tableau par observation ci-dessous).
  2. Après \(E_2\), le posterior de (a) servant de prior.
  3. Après \(E_3\). Quelle hypothèse domine ? Comment expliquer ce retournement ?
  4. Présenter l’évolution des croyances dans un tableau de synthèse.
  5. Un interne affirme : « \(P(E_1\mid\text{palu})=0{,}85\), donc Moussa a le paludisme avec une probabilité de 0,85. » Identifier l’erreur.
  6. Calculer les rapports de vraisemblance palu contre migraine de \(E_1\) et de \(E_3\), et interpréter.

Après \(E_1\)

\(h\) prior vraisemblance produit posterior
migraine
palu
hypertension
somme

Après \(E_2\)

\(h\) prior vraisemblance produit posterior
migraine
palu
hypertension
somme

Après \(E_3\)

\(h\) prior vraisemblance produit posterior
migraine
palu
hypertension
somme

Exercice 4 : Bouki, avec un capteur moins fiable

Dans la grotte de Kédougou (\(4\times4\), case \((i,j)\) : ligne \(i\), colonne \(j\), départ en \((1,1)\)), Bouki occupe une case autre que le départ, chacune avec la même probabilité. L’odorat d’Ousmane est moins fiable qu’en cours : \(P(\text{odeur}\mid\text{Bouki voisin})=0{,}8\) et \(P(\text{odeur}\mid\text{Bouki non voisin})=0{,}1\). Être vivant dans une case donne une vraisemblance 0 à « Bouki est ici ». Ousmane ne sent rien en \((1,1)\), entre en \((1,2)\) et y sent une odeur, puis entre en \((1,3)\) et n’y sent rien.

après \((1,1)\)après \((1,2)\)après \((1,3)\)

  1. Donner le prior de chaque case.
  2. Après \((1,1)\) sans odeur : les vraisemblances, l’évidence \(z\), et les croyances (deux valeurs distinctes).
  3. Après \((1,2)\) avec odeur : mêmes questions. Quelles cases montent, et pourquoi ?
  4. Après \((1,3)\) sans odeur : compléter la grille. Où Bouki est-il le plus probablement, avec quelle probabilité ?
  5. Comparer avec ce que conclurait la logique de la Séance 2, avec un capteur infaillible.

Exercice 5 : le réseau de l’hôpital de Thiès

Un hôpital de Thiès modélise six variables booléennes : la saison des pluies \(S\), un voyage récent en zone d’endémie \(V\), la maladie \(M\) (paludisme), la fièvre \(F\), une splénomégalie \(G\) (rate augmentée de volume) et l’hospitalisation \(H\).

  1. Écrire la factorisation de la jointe. Compter les paramètres libres du réseau et de la jointe brute.
  2. Donner le motif (chaîne, cause commune, v-structure) des triplets \((S,M,V)\), \((F,M,G)\), \((F,H,G)\) et \((S,M,F)\).
  3. Remplir le tableau de d-séparation, en examinant chaque chemin entre les deux variables.
  4. Expliquer médicalement pourquoi \(F\perp G\mid M\) est raisonnable, et pourquoi \(F\) et \(G\) deviennent dépendants sachant \(H\).
  5. Donner la couverture de Markov de \(M\) et celle de \(F\).
paire, observations chemins examinés d-séparés ? justification
\(S\), \(V\), \(Z=\emptyset\)
\(S\), \(F\), \(Z=\emptyset\)
\(S\), \(F\), \(Z=\{M\}\)
\(F\), \(G\), \(Z=\emptyset\)
\(F\), \(G\), \(Z=\{M\}\)
\(F\), \(G\), \(Z=\{H\}\)
\(F\), \(G\), \(Z=\{M, H\}\)
\(S\), \(V\), \(Z=\{M\}\)
\(S\), \(V\), \(Z=\{H\}\)
\(S\), \(G\), \(Z=\{M, F\}\)

Exercice 6 (approfondissement) : les récoltes de Tambacounda

Une agronome du Sénégal oriental modélise une mauvaise récolte \(R\) par une pluviométrie insuffisante \(P\), la sécheresse \(S\) et une infestation de criquets \(I\) : \(P(P)=0{,}3\) ; \(P(S\mid P)=0{,}8\), \(P(S\mid\neg P)=0{,}1\) ; \(P(I\mid P)=0{,}5\), \(P(I\mid\neg P)=0{,}2\) ; \(P(R\mid S,I)=0{,}9\), \(0{,}7\), \(0{,}6\), \(0{,}05\) pour \((S,I)=(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)\).

  1. Écrire la factorisation et compter les paramètres, contre la jointe brute.
  2. Calculer \(P(R=1)\) par élimination de variables, en éliminant \(P\), puis \(S\), puis \(I\). Donner chaque facteur créé (ses variables et ses valeurs) et le nombre de multiplications ; comparer à l’énumération.
  3. Calculer \(P(P=1\mid R=1)\) et comparer à \(P(P=1)\).
  4. Calculer \(P(I=1\mid R=1)\), puis \(P(I=1\mid R=1,S=1)\) et \(P(I=1\mid R=1,S=0)\). Interpréter.
  5. \(S\) et \(I\) sont-ils d-séparés sachant \(P\) ? Sachant \(\{P,R\}\) ? Relier la réponse à (d).

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