Raisonner sous incertitude~: probabilités, Bayes, réseaux bayésiens
Département de Mathématiques et Informatique, Faculté des Sciences et Techniques, Université Cheikh Anta Diop de Dakar
Ce que la séance construit
Raisonner quand le monde n’est pas connu avec certitude : remplacer le vrai et le faux par un degré de croyance, le mettre à jour par le théorème de Bayes à chaque observation, puis représenter un monde de nombreuses variables par un réseau bayésien et y calculer, sur le diagnostic de Fatou à Dakar.
D’où l’on vient, où l’on va
Amont. Les environnements partiellement observables et stochastiques (Séance 1) ; la logique, qui ne connaît que le vrai et le faux, et le Monde de Bouki (Séance 2) ; la recherche dans un monde connu avec certitude (Séance 3).
Aval. Une croyance ne dit pas quoi faire : la Séance 6 passe à la décision sous incertitude (utilité, MDP). Le cours de Machine Learning apprendra les probabilités à partir des données (Naive Bayes, vraisemblance, modèles génératifs).
Le cas de la séance
Août, saison des pluies. Fatou, 28 ans, consulte le Dr Ndoye au centre de santé de la Médina, à Dakar, pour une fièvre. Paludisme, grippe ou autre cause ? Le médecin dispose de trois observations : les frissons, la température et un test de diagnostic rapide (TDR).
La logique se heurte à l’ambiguïté
\(\text{fièvre}\land\text{frissons}\Rightarrow\text{paludisme}\) ? Les mêmes symptômes accompagnent la grippe ou la typhoïde : la même prémisse mènerait à des conclusions contradictoires.
La recherche suppose un monde certain
A* demande un état connu, des actions au résultat sûr et des coûts connus. Le médecin ne voit pas la maladie, et un test peut se tromper.
Lecture. Il faut un langage qui exprime « probablement le paludisme », et une règle pour réviser ce jugement quand une observation arrive.
D’où vient l’incertitude d’un agent
Lecture. Ce sont les environnements « partiellement observables » et « stochastiques » du tableau de la Séance 1, celui où le diagnostic médical avait été classé.
| logique (Séance 2) | probabilités | |
|---|---|---|
| valeurs | vrai, faux | \([0,1]\) |
| opérateurs | \(\land,\lor,\neg,\Rightarrow\) | \(P(\cdot)\), \(P(\cdot\mid\cdot)\) |
| raisonnement | modus ponens, résolution | théorème de Bayes |
| monde supposé | certain, complet | incertain, incomplet |
Lecture. « Probablement le paludisme » devient \(P(\text{palu})=0{,}711\) ; avec 0 et 1 seulement, on retrouve la logique.
Pour raisonner sur ce qu’il ne sait pas, l’agent commence par le nommer.
Variable aléatoire
Une variable aléatoire \(X\) prend ses valeurs dans un domaine \(\mathrm{Dom}(X)\) : booléen (frissons), discret (maladie), continu (température en degrés). Majuscule pour la variable, minuscule pour une valeur : \(M=\text{palu}\).
| variable | domaine | rôle | pour le Dr Ndoye |
|---|---|---|---|
| \(M\) (maladie) | {palu, grippe, autre} | cachée | la cause, qu’il ne voit pas |
| \(Fr\) (frissons) | {vrai, faux} | observée | examen clinique |
| \(T\) (température) | {très haute, haute} | observée | thermomètre (\(>39{,}5\) °C) |
| \(TDR\) (test rapide) | {\(+\), \(-\)} | observée | test sanguin du paludisme |
Lecture. La maladie est l’état caché du monde ; frissons, température et test sont les capteurs. Diagnostiquer, c’est inférer la variable cachée à partir des observées.
Distribution de probabilité
Une fonction \(P:\mathrm{Dom}(X)\to[0,1]\) telle que \(\sum_x P(X=x)=1\) : on répartit un « budget de croyance » égal à 1 entre les valeurs.
Axiomes (Kolmogorov, 1933)
Un événement \(A\) est un sous-ensemble de l’ensemble \(\Omega\) des résultats possibles, par exemple \(\{M=\text{palu}\}\). \(P(A)\geq0\) ; \(P(\Omega)=1\) ; si \(A\cap B=\emptyset\), \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\). D’où \(P(\neg A)=1-P(A)\).
Le prior d’août
Registres du centre : sur 500 patients fiévreux en août, 200 paludismes, 175 grippes, 125 autres causes.
| \(m\) | cas | \(P(M=m)\) |
|---|---|---|
| palu | 200 | \(0{,}40\) |
| grippe | 175 | \(0{,}35\) |
| autre | 125 | \(0{,}25\) |
| total | 500 | \(1{,}00\) |
Lecture. \(P(M\neq\text{palu})=1-0{,}40=0{,}60\). Cette distribution, connue avant d’examiner Fatou, est le prior.
Lecture fréquentiste
\(P(\text{palu})=0{,}40\) : sur un grand nombre de patients fiévreux en août, 40 % ont le paludisme. Une propriété de la population, mesurée par une fréquence.
Lecture bayésienne
\(P(\text{palu})=0{,}40\) : le degré de croyance du Dr Ndoye, étant donné ce qu’il sait. Un état de connaissance, révisé à chaque observation.
La lecture retenue en IA
La lecture bayésienne modélise un agent qui apprend : chaque frisson, chaque mesure, chaque test met à jour sa croyance. En Machine Learning, l’apprentissage bayésien met à jour de la même façon une croyance sur les paramètres d’un modèle, les données jouant le rôle des observations.
PRIOR = {"palu": 0.40, "grippe": 0.35, "autre": 0.25} # fievre en aout a Dakar
FR = {"palu": 0.80, "grippe": 0.30, "autre": 0.10} # P(Fr = vrai | M)
TE = {"palu": 0.70, "grippe": 0.20, "autre": 0.05} # P(T = tres haute | M)
TDR = {"palu": 0.95, "grippe": 0.10, "autre": 0.10} # P(TDR = + | M)
print(sum(PRIOR.values()))
print(1 - PRIOR["palu"])Résultat \(\rightarrow\)
1.0
0.6Lecture. Un dictionnaire par distribution : le prior d’août, puis, pour chaque maladie, la probabilité d’observer des frissons, une température très haute, un TDR positif. La somme du prior vaut 1.
Distribution jointe
\(P(X=x,Y=y)\) pour chaque couple de valeurs ; la somme de toutes les cases vaut 1. Elle contient toute l’information sur la relation entre \(X\) et \(Y\).
D’où vient une case
40 % des patients ont le paludisme, et 80 % d’entre eux ont des frissons : \(P(\text{palu},\text{oui})=0{,}40\times0{,}80=0{,}320\).
| \(Fr=\) oui | \(Fr=\) non | total | |
|---|---|---|---|
| palu | \(0{,}320\) | \(0{,}080\) | \(0{,}40\) |
| grippe | \(0{,}105\) | \(0{,}245\) | \(0{,}35\) |
| autre | \(0{,}025\) | \(0{,}225\) | \(0{,}25\) |
| total | \(0{,}450\) | \(0{,}550\) | \(1{,}00\) |
Lecture. Six cases, de somme 1. Toute question sur la maladie et les frissons se lit dans ce tableau ; le pas à pas qui suit le construit.
Sortie \(\rightarrow\)
0.45
{'palu': 0.711, 'grippe': 0.233, 'autre': 0.056}Faire disparaître une variable
\[ P(X=x)=\sum_{y\in\mathrm{Dom}(Y)}P(X=x,Y=y) \]
On somme la ligne (ou la colonne) : le résultat s’écrit dans la marge du tableau, d’où le nom.
Sur le tableau des frissons
\(P(\text{palu})=0{,}320+0{,}080=0{,}40\) : on retrouve le prior. \(P(Fr=\text{oui})=0{,}320+0{,}105+0{,}025=0{,}45\) : 45 % des patients fiévreux ont des frissons, toutes causes confondues.
Lecture. Marginaliser, c’est répondre à une question qui ignore une variable ; c’est l’opération que l’inférence répétera dans les réseaux bayésiens.
Probabilité conditionnelle
\[ P(X=x\mid Y=y)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)} \]
défini si \(P(Y=y)>0\) ; « \(\mid\) » se lit « sachant ».
Observer \(Fr=\) oui, c’est ne garder que la colonne des frissons, puis la diviser par son total pour qu’elle somme à 1.
Lecture. \(P(\text{palu}\mid Fr)=0{,}320/0{,}450=32/45\approx0{,}711\), \(P(\text{grippe}\mid Fr)\approx0{,}233\), \(P(\text{autre}\mid Fr)\approx0{,}056\) : l’observation redistribue la croyance.
Règle du produit
\[ P(X,Y)=P(X\mid Y)\,P(Y)=P(Y\mid X)\,P(X) \]
C’est elle qui a rempli le tableau : \(P(\text{palu},\text{oui})=P(\text{oui}\mid\text{palu})\,P(\text{palu})=0{,}80\times0{,}40\).
Indépendance
\(X\perp Y\) si \(P(X,Y)=P(X)\,P(Y)\), autrement dit \(P(X\mid Y)=P(X)\) : observer \(Y\) ne change rien à la croyance sur \(X\).
Lecture. Ici \(P(\text{palu}\mid Fr)=0{,}711\neq0{,}40\) : maladie et frissons sont dépendants, et c’est pour cela que les frissons informent le diagnostic.
Énoncé
Cheikh, coursier à vélo du Plateau, a noté la météo et la ponctualité de ses 200 dernières livraisons.
Correction
Le zoom a donné \(P(\text{palu}\mid Fr)\) à partir de la jointe ; le théorème de Bayes l’obtient à partir de ce que l’on connaît d’habitude.
Deux directions
Cause \(\to\) effet : \(P(Fr\mid\text{palu})=0{,}80\), mesurée en suivant des patients diagnostiqués.
Effet \(\to\) cause : \(P(\text{palu}\mid Fr)\), celle dont le médecin a besoin : remonter de l’observation à la cause cachée est un problème d’inférence.
Ne pas confondre \(P(A\mid B)\) et \(P(B\mid A)\)
« 80 % des paludéens ont des frissons » \(\neq\) « 80 % des patients qui ont des frissons sont paludéens » : ici, \(0{,}80\) contre \(0{,}711\). « 95 % des malades sont positifs » \(\neq\) « 95 % des positifs sont malades ». Cette confusion porte un nom, l’erreur du procureur.
Lecture. La population des patients qui frissonnent est plus large que celle des paludéens : les deux probabilités n’ont pas le même dénominateur.
Dérivation
La règle du produit écrit la jointe de deux façons : \(P(H,E)=P(E\mid H)P(H)=P(H\mid E)P(E)\). On divise par \(P(E)\) :
\[ P(H\mid E)=\frac{P(E\mid H)\,P(H)}{P(E)} \]
avec \(P(E)=\sum_h P(E\mid h)P(h)\) (probabilités totales).
| terme | nom | rôle |
|---|---|---|
| \(P(H)\) | prior | croyance avant l’observation |
| \(P(E\mid H)\) | vraisemblance | compatibilité de \(E\) avec \(H\) |
| \(P(E)\) | évidence | normalisation |
| \(P(H\mid E)\) | posterior | probabilité a posteriori |
posterior \(\propto\) vraisemblance \(\times\) prior
Lecture. Le prior dit ce que l’on croyait, la vraisemblance ce que l’observation y change ; l’évidence ne dépend pas de l’hypothèse et ne sert qu’à normaliser.
Lecture. Le produit garde l’ordre palu, grippe, autre mais creuse les écarts : 0,320 contre 0,105 et 0,025. Divisé par la somme 0,45, il redevient une distribution : 0,711, 0,233, 0,056.
Sortie \(\rightarrow\)
{'palu': 0.711, 'grippe': 0.233, 'autre': 0.056}Lecture. Tour 1 (ligne 4) : palu : prior \(\times\) vraisemblance \(=0,400\times0,800=0,320\).
Lecture. Tour 2 (ligne 4) : grippe : prior \(\times\) vraisemblance \(=0,350\times0,300=0,105\).
Lecture. Tour 3 (ligne 4) : autre : prior \(\times\) vraisemblance \(=0,250\times0,100=0,025\).
Lecture. Ligne 5 : l’évidence \(P(Fr)=z=0,450\), somme des trois produits (probabilités totales).
Lecture. Ligne 8 : posterior de palu : \(0,320/0,450=0,711\).
Lecture. Ligne 8 : posterior de grippe : \(0,105/0,450=0,233\).
Lecture. Ligne 8 : posterior de autre : \(0,025/0,450=0,056\).
Lecture. Ligne 11 : le posterior somme à 1 ; le paludisme passe de 0,40 à 0,711, « autre » de 0,25 à 0,056.
Deux raisons qui se multiplient
Un prior déjà favorable (\(0{,}40>0{,}35>0{,}25\)), et une vraisemblance élevée : les frissons sont bien plus fréquents avec le paludisme (0,80) qu’avec la grippe (0,30) ou une autre cause (0,10).
Rapport de vraisemblance
\[ \mathrm{LR}(\text{palu}/\text{grippe})=\frac{P(Fr\mid\text{palu})}{P(Fr\mid\text{grippe})}=\frac{0{,}80}{0{,}30}=\frac83\approx2{,}67 \]
La force de la preuve : les frissons sont 2,67 fois plus probables sous l’hypothèse du paludisme que sous celle de la grippe.
Lecture. Le rapport des posteriors est le rapport des priors multiplié par LR : \(\frac{0{,}711}{0{,}233}=\frac{0{,}40}{0{,}35}\times\frac83\).
Résultat \(\rightarrow\)
{'palu': 0.003, 'grippe': 0.872, 'autre': 0.124}Lecture. Les vraisemblances sont les mêmes qu’à Dakar ; seul le prior change, \(P(\text{palu})=0{,}001\). L’évidence vaut \(P(Fr)=0{,}2407\) et le paludisme tombe à 0,003.
Le prior est le contexte
Lieu, saison, population : le prior encode l’environnement de l’agent. La même observation n’a pas le même sens à Dakar en août et à Paris en janvier.
Cote
\(O(H)=P(H)/P(\neg H)\) : \(O(\text{palu})=0{,}40/0{,}60=2/3\), « 2 contre 3 ».
Cote après \(=\) rapport de vraisemblance \(\times\) cote avant
\[ \frac{P(H\mid E)}{P(\neg H\mid E)}=\frac{P(E\mid H)}{P(E\mid\neg H)}\times\frac{P(H)}{P(\neg H)} \]
Ici \(P(Fr\mid\neg\text{palu})=0{,}13/0{,}60=13/60\), d’où \(\mathrm{LR}=0{,}80/(13/60)=48/13\approx3{,}69\) et une cote après observation de \(\frac23\times\frac{48}{13}=\frac{32}{13}\approx2{,}46\), soit \(P=32/45\).
Lecture. Un LR supérieur à 1 renforce l’hypothèse, inférieur à 1 l’affaiblit, égal à 1 ne dit rien ; c’est la forme employée en médecine.
Quoi
Multiplier le prior de chaque hypothèse par la vraisemblance de l’observation, puis normaliser par l’évidence.
Pourquoi c’est exact
C’est la règle du produit lue dans les deux sens : aucune approximation, dès que le prior et les vraisemblances sont justes.
Quand ça échoue
Un prior faux fausse tout (un paludisme jugé impossible, \(P=0\), le reste après n’importe quelle preuve) ; des vraisemblances estimées sur une autre population aussi. Avec \(n\) hypothèses et des observations nombreuses et liées entre elles, la jointe devient impossible à écrire : il faudra les réseaux bayésiens.
Le posterior d’hier est le prior d’aujourd’hui : après les frissons, le Dr Ndoye mesure la température, puis demande un TDR.
Mise à jour séquentielle
Indépendance conditionnelle
Utiliser \(P(E_2\mid H)\) seul suppose \(P(E_1,E_2\mid H)=P(E_1\mid H)\,P(E_2\mid H)\) : la maladie connue, les frissons n’apprennent rien sur la température. Hypothèse forte, au cœur de Naive Bayes.
| \(h\) | \(P(Fr\mid h)\) | \(P(T=\text{très haute}\mid h)\) | \(P(TDR^+\mid h)\) |
|---|---|---|---|
| palu | 0,80 | 0,70 | 0,95 |
| grippe | 0,30 | 0,20 | 0,10 |
| autre | 0,10 | 0,05 | 0,10 |
Sortie \(\rightarrow\)
frissons [0.711, 0.233, 0.056]
temperature [0.91, 0.085, 0.005]
TDR+ [0.99, 0.01, 0.001]Lecture. Initialisation (lignes 1–3) : la croyance de départ est le prior d’août.
Lecture. Tour 1, frissons : le paludisme passe de 0,400 à 0,711 ; ce posterior devient le prior.
Lecture. Tour 2, temperature : le paludisme passe de 0,711 à 0,910 ; ce posterior devient le prior.
Lecture. Tour 3, TDR+ : le paludisme passe de 0,910 à 0,990 ; ce posterior devient le prior.
Résultat \(\rightarrow\)
0.91 0.359
0.99Lecture. Après frissons et température, 0,910 ; un TDR négatif la fait tomber à 0,359, sans l’annuler. Dans l’ordre TDR, température, frissons : 0,990.
Le raisonnement est symétrique
Une preuve peut renforcer ou affaiblir : tenir compte des seules preuves favorables n’est pas un raisonnement bayésien.
Résultat \(\rightarrow\)
15 0.067
[(2, 2), (3, 1)]Ce que disait la logique (Séance 2)
Odeur en \((2,1)\) : \(B_{2,2}\lor B_{3,1}\). Avec un seul Bouki et un odorat infaillible, l’odeur en \((1,2)\) désignerait \((2,2)\). Mais un capteur qui se trompe parfois ne permet plus aucune déduction certaine.
Le modèle probabiliste
Prior uniforme sur les 15 cases autres que le départ ; capteur bruité : \(P(\text{odeur}\mid\text{Bouki voisin})=0{,}9\), \(P(\text{odeur}\mid\text{non voisin})=0{,}05\). Ousmane vivant dans une case : vraisemblance 0 que Bouki y soit.
Sortie \(\rightarrow\)
(1, 1) [0.076, 0.076] (2, 1) [0.382, 0.382] (1, 2) [0.876, 0.049]Lecture. Initialisation : Bouki n’est pas au départ ; prior uniforme \(1/15\approx0,067\) sur les 15 autres cases.
Lecture. Tour 1 (lignes 2–10) : en (1,1), rien : \(\times0{,}1\) pour (1,2) et (2,1), \(\times0{,}95\) ailleurs ; \(z=0,837\).
Lecture. Normalisation (lignes 11–12, puis 18) : (1,2) et (2,1) tombent à 0,008, les 13 autres cases montent à 0,076.
Lecture. Tour 2 (lignes 2–10) : Ousmane est vivant en (2, 1) (vraisemblance 0) ; odeur : \(\times0{,}9\) pour ses voisines, \(\times0{,}05\) ailleurs ; \(z=0,1783\).
Lecture. Lignes 11–12, puis 18 : (2,2) et (3,1), voisines de (2,1), montent ensemble à 0,382 : la symétrie n’est pas encore brisée.
Lecture. Tour 3 (lignes 2–10) : Ousmane est vivant en (1, 2) (vraisemblance 0) ; odeur : \(\times0{,}9\) pour ses voisines, \(\times0{,}05\) ailleurs ; \(z=0,3927\).
Lecture. Lignes 11–12, puis 18 : (2,2), voisine de (1,2), monte à 0,876 ; (3,1), qui ne l’est pas, tombe à 0,049.
La brisure de symétrie
Après \((2,1)\), \((2,2)\) et \((3,1)\) ont la même croyance, 0,382. L’odeur en \((1,2)\) est \(0{,}9/0{,}05=18\) fois plus probable si Bouki est en \((2,2)\), voisine de \((1,2)\), qu’en \((3,1)\) : ce rapport de vraisemblance porte \((2,2)\) à 0,876.
| logique (Séance 2) | probabilités | |
|---|---|---|
| conclusion | « \((2,2)\) » si l’odorat est infaillible ; aucune déduction s’il se trompe | « \((2,2)\) avec 0,876 » |
| capteur bruité | hors du langage | modélisé par la vraisemblance |
| case visitée | \(\neg B_{i,j}\) | vraisemblance 0, la même élimination |
| décision | explorer \((1,3)\) ou \((3,1)\), sûres | éviter \((2,2)\), risque chiffré |
Lecture. La logique est le cas limite des vraisemblances 0 et 1. Choisir la case suivante à partir de ces croyances est un problème de décision : la Séance 6.
Énoncé
Un bruit sur le vélo de Cheikh : chaîne sèche, frein usé ou rayon desserré ? \(E_1\) : bruit au pédalage ; \(E_2\) : bruit au freinage.
Correction
Jusqu’ici, deux ou trois variables ; un diagnostic réel en compte des dizaines.
| \(n\) variables booléennes | paramètres \(2^n-1\) |
|---|---|
| 5 | 31 |
| 10 | 1 023 |
| 20 | \(\approx1{,}05\times10^{6}\) |
| 30 | \(\approx1{,}07\times10^{9}\) |
| 100 | \(\approx1{,}27\times10^{30}\) |
Le même mur qu’en Séance 3
Un arbre de recherche de facteur \(b\) a \(b^d\) nœuds au niveau \(d\) ; la jointe de \(n\) variables a \(2^n\) cases. Là-bas, l’heuristique évitait d’explorer tout l’arbre ; ici, les indépendances conditionnelles évitent d’écrire toute la jointe.
Lecture. À 30 variables, un milliard de nombres à estimer et à stocker : impossible à fournir par un expert, et même à apprendre par des données.
Indépendance conditionnelle
\[ X\perp Y\mid Z\iff P(X,Y\mid Z)=P(X\mid Z)\,P(Y\mid Z) \]
Une fois \(Z\) connu, apprendre \(X\) n’apporte rien sur \(Y\) : toute la dépendance entre \(X\) et \(Y\) passe par \(Z\).
Frissons et TDR
Sans connaître la maladie, un TDR positif rend les frissons plus probables : les deux pointent vers le paludisme. Sachant que Fatou a le paludisme, le TDR n’apprend plus rien sur ses frissons : \(Fr\perp TDR\mid M\).
Lecture. La plupart des variables d’un domaine ne s’influencent pas directement : c’est cette rareté des liens directs que le réseau bayésien exploite.
Réseau bayésien \((\mathcal G,\Theta)\)
\(\mathcal G\) est un graphe orienté acyclique : un nœud par variable, un arc \(X\to Y\) quand \(X\) influence directement \(Y\) (\(X\) est un parent de \(Y\)). \(\Theta\) donne, pour chaque nœud, sa table de probabilités conditionnelles : \(P(X_i\mid\mathrm{Parents}(X_i))\).
Factorisation de la jointe
\[ P(X_1,\dots,X_n)=\prod_{i=1}^n P\big(X_i\mid\mathrm{Parents}(X_i)\big) \]
Exacte quand le graphe décrit les indépendances du domaine.
Lecture. Construire : ordonner les variables des causes vers les effets, donner à chacune pour parents les variables déjà placées qui l’influencent directement, puis sa table.
Table illustrative. \(P(S=\text{pluies})=P(Mq=\text{oui})=0{,}5\) ; \(P(Fr\mid M)\), \(P(T\mid M)\), \(P(TDR\mid M)\) : les tables du diagnostic.
Lecture. La moustiquaire divise le paludisme par 4 en saison des pluies, par 9 en saison sèche ; la moyenne sur \(Mq\) redonne le prior d’août, 0,40, 0,35, 0,25.
P_S = {"pluies": 0.5, "seche": 0.5}
P_MQ = {"oui": 0.5, "non": 0.5} # dort sous moustiquaire
P_M = {("pluies", "oui"): {"palu": 0.16, "grippe": 0.49, "autre": 0.35},
("pluies", "non"): {"palu": 0.64, "grippe": 0.21, "autre": 0.15},
("seche", "oui"): {"palu": 0.02, "grippe": 0.49, "autre": 0.49},
("seche", "non"): {"palu": 0.18, "grippe": 0.41, "autre": 0.41}}
DOM = {"S": ["pluies", "seche"], "Mq": ["oui", "non"],
"M": ["palu", "grippe", "autre"], "Fr": [True, False],
"T": [True, False], "TDR": [True, False]}
print({m: (P_M["pluies", "oui"][m] + P_M["pluies", "non"][m]) / 2
for m in PRIOR})Résultat \(\rightarrow\)
{'palu': 0.4, 'grippe': 0.35, 'autre': 0.25}Lecture. Une table par nœud ; P_M a une ligne par combinaison des parents, et chaque ligne somme à 1. La dernière ligne vérifie le prior d’août.
def p_oui(table, m, x): # P(X = x | M = m), X booleen
return table[m] if x else 1 - table[m]
def jointe_reseau(s, q, m, fr, te, tdr):
return (P_S[s] * P_MQ[q] * P_M[s, q][m]
* p_oui(FR, m, fr) * p_oui(TE, m, te) * p_oui(TDR, m, tdr))
total = 0
for x in itertools.product(*DOM.values()):
total = total + jointe_reseau(*x)
print(round(total, 12))
print(round(jointe_reseau("pluies", "non", "palu", True, True, True), 5))Résultat \(\rightarrow\)
1.0
0.08512Lecture. Six facteurs, un par nœud. La somme sur les \(2\times2\times3\times2\times2\times2=96\) configurations vaut 1 ; une configuration : \(0{,}5\times0{,}5\times0{,}64\times0{,}80\times0{,}70\times0{,}95=0{,}08512\).
| table | paramètres libres |
|---|---|
| \(P(S)\), \(P(Mq)\) | \(1+1\) |
| \(P(M\mid S,Mq)\) | \(4\times2=8\) |
| \(P(Fr\mid M)\), \(P(T\mid M)\), \(P(TDR\mid M)\) | \(3\times3=9\) |
| réseau | 19 |
| jointe brute \(2\cdot2\cdot3\cdot2\cdot2\cdot2-1\) | 95 |
Une colonne, une contrainte
Pour chaque combinaison des parents, les probabilités d’un nœud somment à 1 : une valeur se déduit des autres. Un nœud à \(k\) valeurs et \(q\) combinaisons de parents a \(q(k-1)\) paramètres libres.
Le gain grandit avec le domaine
Une maladie à 3 valeurs et 30 symptômes booléens : \(3\times2^{30}-1\approx3{,}2\times10^9\) paramètres pour la jointe, \(2+30\times3=92\) pour le réseau où chaque symptôme ne dépend que de la maladie.
Énoncé
Pluie \(P\), embouteillage \(E\), crevaison \(C\), retard \(R\), plainte \(Q\). \(P(P)=0{,}3\) ; \(P(E\mid P)=0{,}7\) ou \(0{,}2\) ; \(P(C)=0{,}1\) ; \(P(R\mid E,C)=0{,}9\), \(0{,}6\), \(0{,}7\), \(0{,}1\) (les deux, \(E\) seul, \(C\) seul, aucun) ; \(P(Q\mid R)=0{,}5\) ou \(0{,}05\).
Correction
Toute probabilité conditionnelle se calcule en sommant la jointe factorisée, comme les cases du tableau des frissons.
def prob(requete, obs):
num = 0
den = 0
for x in itertools.product(*DOM.values()):
a = dict(zip(DOM, x))
if all(a[v] == obs[v] for v in obs):
p = jointe_reseau(*x)
den = den + p
if all(a[v] == requete[v] for v in requete):
num = num + p
return num / den
print(round(prob({"Fr": True}, {"S": "pluies"}), 3))
print(round(prob({"Fr": True}, {"S": "seche"}), 3))Résultat \(\rightarrow\)
0.45
0.26Lecture. \(P(Fr\mid\text{pluies})=0{,}45\) et \(P(Fr\mid\text{sèche})=0{,}26\) : sans rien savoir de la maladie, la saison renseigne sur les frissons.
Résultat \(\rightarrow\)
0.8
0.3125
0.5789
0.95Chaîne \(S\to M\to Fr\)
Sans \(M\), \(S\) et \(Fr\) dépendent l’un de l’autre (0,45 contre 0,26). Sachant \(M=\) palu, \(P(Fr)=0{,}8\) en saison sèche comme en saison des pluies : \(S\perp Fr\mid M\). Le nœud du milieu, observé, bloque le passage.
Cause commune \(Fr\leftarrow M\to TDR\)
\(P(TDR^+)=0{,}3125\) monte à \(0{,}5789\) sachant \(Fr\) ; sachant aussi \(M=\) palu, il vaut \(0{,}95\) quoi qu’il en soit des frissons : \(Fr\perp TDR\mid M\).
Résultat \(\rightarrow\)
0.5 0.5
0.18
0.1V-structure \(S\to M\leftarrow Mq\)
\(P(Mq)=0{,}5\), en saison sèche aussi : indépendantes. Sachant le paludisme, \(P(Mq)=0{,}18\) ; sachant de plus la saison sèche, 0,1.
Observer l’effet commun ouvre le passage
En saison sèche, le paludisme demande une autre explication : l’absence de moustiquaire. C’est l’explication concurrente {(explaining away)}.
Lecture. Sachant le paludisme, \(P(\text{pluies})=0{,}8\) ; \(8/9\approx0{,}889\) avec moustiquaire, \(32/41\approx0{,}780\) sans.
| motif | sans observer le nœud central | en l’observant |
|---|---|---|
| chaîne \(A\to B\to C\) | \(A\), \(C\) dépendants | \(A\perp C\mid B\) : bloque |
| cause commune \(A\leftarrow B\to C\) | \(A\), \(C\) dépendants | \(A\perp C\mid B\) : bloque |
| v-structure \(A\to B\leftarrow C\) | \(A\perp C\) | \(A\), \(C\) dépendants : ouvre |
Le descendant d’une v-structure
Observer un descendant de \(B\) ouvre aussi la v-structure : observer les frissons renseigne sur la maladie, donc \(S\) et \(Mq\) deviennent dépendants sachant \(Fr\).
d-séparation (Pearl)
\(X\) et \(Y\) sont d-séparés par \(Z\) si tout chemin non orienté entre \(X\) et \(Y\) est bloqué, un chemin étant bloqué dès qu’il contient :
Théorème
Si \(X\) et \(Y\) sont d-séparés par \(Z\), alors \(X\perp Y\mid Z\) pour toutes les tables compatibles avec le graphe. Un seul chemin actif laisse en général la dépendance.
Lecture. Le critère lit les indépendances dans le graphe, sans un seul calcul ; sur le réseau de Fatou, les 240 requêtes possibles donnent le même verdict que le calcul.
PARENTS = {"S": [], "Mq": [], "M": ["S", "Mq"], "Fr": ["M"], "T": ["M"], "TDR": ["M"]}
VOISINS = {v: set(PARENTS[v]) for v in PARENTS}
for v in PARENTS:
for p in PARENTS[v]:
VOISINS[p].add(v)
def descendants(v):
d = set()
for w in PARENTS:
if v in PARENTS[w]:
d = d | {w} | descendants(w)
return d
def chemins(x, y, vus):
if x == y:
return [[y]]
res = []
for v in sorted(VOISINS[x] - set(vus)):
for c in chemins(v, y, vus + [v]):
res.append([x] + c)
return resLecture. Les voisins ignorent le sens des arcs ; chemins énumère les chemins sans nœud répété, descendants suit les arcs vers le bas.
Sortie \(\rightarrow\)
S Fr [] FalseFr TDR ['M'] TrueS Mq ['M'] False
S Fr ['M'] TrueS Mq [] TrueS Mq ['Fr'] FalseLecture. Initialisation (lignes 1–17) : les deux fonctions et les six requêtes.
Lecture. Tour 1, \(Z=\emptyset\) : S–M–Fr, chaîne, M non observé : actif ; d-séparés : non.
Lecture. Tour 2, \(Z=\{M\}\) : S–M–Fr, chaîne, M observé : bloqué ; d-séparés : oui.
Lecture. Tour 3, \(Z=\{M\}\) : Fr–M–TDR, cause commune, M observé : bloqué ; d-séparés : oui.
Lecture. Tour 4, \(Z=\emptyset\) : S–M–Mq, v-structure, rien d’observé : bloqué ; d-séparés : oui.
Lecture. Tour 5, \(Z=\{M\}\) : S–M–Mq, v-structure, M observé : ouvert ; d-séparés : non.
Lecture. Tour 6, \(Z=\{Fr\}\) : S–M–Mq, v-structure, descendant Fr observé : ouvert ; d-séparés : non.
Une bonne pluie fait la récolte et baisse le prix du marché ; récolte et prix font le revenu, qui fait la santé du ménage.
| Récolte, Prix, sans observation : dépendants | |
|---|---|
| par Pluie | actif |
| par Revenu | bloqué en Revenu (v-structure) |
| Récolte, Prix, sachant Pluie : d-séparés | |
| par Pluie | bloqué en Pluie (cause commune) |
| par Revenu | bloqué en Revenu (v-structure) |
| Récolte, Prix, sachant Pluie et Santé : dépendants | |
| par Pluie | bloqué en Pluie (cause commune) |
| par Revenu | actif |
| Pluie, Santé, sachant Revenu : d-séparés | |
| par Prix, Revenu | bloqué en Revenu (chaîne) |
| par Récolte, Revenu | bloqué en Revenu (chaîne) |
Lecture. Bloqué si tous les chemins sont bloqués : sachant la pluie, récolte et prix sont d-séparés ; observer aussi la santé rouvre le chemin par le revenu.
Couverture de Markov
Les parents, les enfants et les autres parents de ses enfants : sachant sa couverture, un nœud est indépendant de tous les autres.
Lecture. La couverture de \(S\) contient \(Mq\), l’autre parent de \(M\).
Quoi
Examiner chaque chemin entre \(X\) et \(Y\), et chaque triplet de ce chemin, pour dire s’il est bloqué par les observations \(Z\).
Pourquoi on peut s’y fier
Une indépendance lue dans le graphe vaut pour toutes les tables : elle découle de la factorisation, non des nombres.
Quand ça échoue
Le critère ne voit que le graphe : deux variables non d-séparées peuvent être indépendantes par un hasard des nombres, et un graphe faux (un arc oublié) donne des indépendances fausses. Énumérer les chemins coûte un temps exponentiel dans le pire cas ; un parcours du graphe de type Bayes-Ball décide la d-séparation en temps linéaire.
Énoncé
Le réseau de l’exercice précédent. d-séparés ?
Correction
Le réseau construit, il reste à l’interroger : sachant des observations, que croire des variables cachées ?
Requête, observations, variables cachées
Une requête \(X\), des observations \(\mathbf e\), et les autres variables, cachées, \(\mathbf h\). Exemple : \(P(M\mid Fr=\text{vrai},TDR=+)\), avec \(S\), \(Mq\) et \(T\) cachées.
Inférence par énumération
\[ P(X\mid\mathbf e)=\alpha\sum_{\mathbf h}\prod_i P\big(X_i\mid\mathrm{Parents}(X_i)\big) \]
Pour chaque valeur de \(X\) : fixer les observations, sommer le produit des tables sur toutes les valeurs des variables cachées ; puis normaliser (\(\alpha\)).
Lecture. C’est la marginalisation et le zoom de la section 2, appliqués à la jointe factorisée.
def enumeration(var, obs):
caches = [v for v in DOM if v != var and v not in obs]
scores = {}
termes = 0
for val in DOM[var]:
scores[val] = 0
for h in itertools.product(*(DOM[v] for v in caches)):
a = dict(zip(caches, h))
a.update(obs)
a[var] = val
scores[val] = scores[val] + jointe_reseau(*(a[v] for v in DOM))
termes = termes + 1
z = sum(scores.values())
return {v: round(p / z, 3) for v, p in scores.items()}, termes
print(enumeration("M", {"Fr": True, "TDR": True}))
print(enumeration("M", {"Fr": True, "TDR": True, "S": "pluies"}))Résultat \(\rightarrow\)
({'palu': 0.925, 'grippe': 0.058, 'autre': 0.017}, 24)
({'palu': 0.959, 'grippe': 0.033, 'autre': 0.008}, 12)Lecture. Sans la saison : 24 termes (3 valeurs de \(M\), 8 configurations de \(S\), \(Mq\), \(T\)), \(P(\text{palu}\mid Fr,TDR^+)\approx0{,}925\). Saison des pluies connue : 12 termes, 0,959.
| \(m\) | \(\tau(m)\) | \(\times P(Fr\mid m)P(TDR^+\mid m)\) | \(=\) |
|---|---|---|---|
| palu | 0,25 | \(0{,}80\times0{,}95\) | 0,19 |
| grippe | 0,40 | \(0{,}30\times0{,}10\) | 0,012 |
| autre | 0,35 | \(0{,}10\times0{,}10\) | 0,0035 |
| somme \(=P(Fr,TDR^+)\) | 0,2055 |
\(\tau(m)=\sum_{s,q}P(s)P(q)P(m\mid s,q)\) : la répartition sur l’année, plus « tiède » que le prior d’août.
Un coût exponentiel
L’énumération calcule chaque terme en entier : 24 termes de 6 facteurs, soit 120 multiplications, et \(d^{\,n}\) termes en général. Elle recalcule les mêmes sous-produits : la somme sur \(T\) vaut 1, et la somme sur \(S\), \(Mq\) ne dépend pas des observations.
Lecture. \(0{,}19/0{,}2055\approx0{,}925\) ; avec le prior d’août au lieu de \(\tau\), \(0{,}304/0{,}317\approx0{,}959\) : le contexte précisé donne un diagnostic plus net.
Factoriser avant de développer
Comme \(ab+ac=a(b+c)\), on sort de chaque somme les facteurs qui ne dépendent pas de la variable sommée :
\[ \sum_{s,q,t}P(s)P(q)P(m\mid s,q)P(t\mid m)=\Big(\sum_s P(s)\sum_q P(q)P(m\mid s,q)\Big)\Big(\sum_t P(t\mid m)\Big) \]
Deux opérations sur les facteurs
Un facteur est une table sur quelques variables. Le produit de deux facteurs porte sur l’union de leurs variables ; la somme sur une variable la fait disparaître (marginalisation). Éliminer \(Z\) : multiplier les facteurs qui contiennent \(Z\), sommer sur \(Z\), remettre le résultat dans la liste.
Lecture. Le coût dépend de la taille du plus grand facteur créé, donc de l’ordre d’élimination et de la structure du graphe.
def facteur(vs, f): # table de f sur ses variables
return vs, {x: f(*x) for x in itertools.product(*(DOM[v] for v in vs))}
def produit(f, g):
(vf, tf), (vg, tg) = f, g
vs = vf + tuple(v for v in vg if v not in vf)
t = {}
for x in itertools.product(*(DOM[v] for v in vs)):
a = dict(zip(vs, x))
t[x] = tf[tuple(a[v] for v in vf)] * tg[tuple(a[v] for v in vg)]
return vs, t
def sommer(f, var): # marginaliser var
vs, t = f
i = vs.index(var)
s = {}
for x, p in t.items():
s[x[:i] + x[i + 1:]] = s.get(x[:i] + x[i + 1:], 0) + p
return vs[:i] + vs[i + 1:], s
print(sommer(facteur(("T", "M"), lambda t, m: p_oui(TE, m, t)), "T"))Résultat \(\rightarrow\)
(('M',), {('palu',): 1.0, ('grippe',): 1.0, ('autre',): 1.0})Lecture. Sommer \(P(T\mid M)\) sur \(T\) donne 1 : \(T\) disparaît sans calcul.
F = [facteur(("S",), lambda s: P_S[s]),
facteur(("Mq",), lambda q: P_MQ[q]),
facteur(("M", "S", "Mq"), lambda m, s, q: P_M[s, q][m]),
facteur(("M",), lambda m: FR[m]), # Fr = vrai, observe
facteur(("T", "M"), lambda t, m: p_oui(TE, m, t)),
facteur(("M",), lambda m: TDR[m])] # TDR = +, observe
print([vs for vs, t in F], sum(len(t) for vs, t in F))Résultat \(\rightarrow\)
[('S',), ('Mq',), ('M', 'S', 'Mq'), ('M',), ('T', 'M'), ('M',)] 28Lecture. Les observations sont fixées avant l’élimination : \(P(Fr\mid M)\) est restreint à \(Fr=\) vrai, \(P(TDR\mid M)\) à \(TDR=+\). Six facteurs, 28 cases en tout.
Sortie \(\rightarrow\)
{'palu': 0.925, 'grippe': 0.058, 'autre': 0.017}Lecture. Initialisation (lignes 1, 15) : six facteurs ; les observations \(Fr=\) vrai et \(TDR=+\) sont déjà fixées dans leurs tables.
Lecture. Tour 1, \(T\) (lignes 3–8) : seul \(P(T\mid M)\) contient \(T\) ; sa somme sur \(T\), \(\tau_1(M)\), vaut 1 : aucun calcul utile.
Lecture. Tour 2, \(Mq\) : produit de \(P(Mq)\) et \(P(M\mid S,Mq)\) (12 cases), somme sur \(Mq\) : \(\tau_2(M,S)=P(M\mid S)\).
Lecture. Tour 3, \(S\) : produit de \(P(S)\) et \(\tau_2\), somme sur \(S\) : \(\tau_3(M)\) vaut 0,250, 0,400, 0,350.
Lecture. Lignes 9–11 : produit des quatre facteurs restants, tous sur \(M\) : 0,190, 0,0120, 0,004.
Lecture. Lignes 12–15 : normalisation par \(z=0,2055\) : \(P(\text{palu}\mid Fr,TDR^+)=0,925\).
| énumération | élimination | |
|---|---|---|
| principe | tout développer | factoriser |
| multiplications ici | 120 | 27 |
| coût en général | \(O(d^{\,n})\) | \(O(n\,d^{\,w+1})\) |
| réseau en arbre | exponentiel | linéaire |
| résultat | exact | exact |
27 \(=\) 12 (produit pour \(Mq\)) \(+\) 6 (pour \(S\)) \(+\) 9 (produit final).
La largeur d’arbre
\(w\) est la taille du plus grand facteur créé, moins un, pour le meilleur ordre : elle mesure la densité structurelle du réseau.
Aucun algorithme exact ne passe partout
L’inférence exacte dans un réseau quelconque est NP-difficile (Cooper, 1990).
Lecture. Le même gain qu’A* face à BFS en Séance 3 : exploiter la structure du problème plutôt que la force brute.
def tirer(rng, dist):
return rng.choices(list(dist), weights=list(dist.values()))[0]
def rejet(n, rng):
gardes = 0
palu = 0
for _ in range(n):
s = tirer(rng, P_S)
q = tirer(rng, P_MQ)
m = tirer(rng, P_M[s, q])
fr = rng.random() < FR[m]
tdr = rng.random() < TDR[m]
if fr and tdr:
gardes = gardes + 1
palu = palu + (m == "palu")
return gardes, round(palu / gardes, 3)
for n in (100, 1000000):
print(n, rejet(n, random.Random(221)))Résultat \(\rightarrow\)
100 (25, 0.96)
1000000 (206483, 0.926)
Lecture. 100 tirages : 25 gardés, 0,96 ; un million : 206 483 gardés (21 %), 0,926 pour 0,925 exact.
Quoi
Pour chaque variable cachée, dans un ordre choisi : multiplier les facteurs qui la contiennent, la sommer, remettre le facteur obtenu ; multiplier ce qui reste, normaliser.
Pourquoi elle est exacte et plus rapide
Elle calcule la même somme que l’énumération, mais chaque sous-produit une seule fois, grâce à la distributivité.
Quand ça échoue
Un mauvais ordre crée des facteurs énormes ; trouver le meilleur ordre est lui-même difficile. Sur un réseau dense, la largeur d’arbre reste grande et il faut l’échantillonnage.
Énoncé
Le client de Cheikh se plaint (\(Q=1\)) : quelle probabilité de crevaison ? Éliminer \(P\), puis \(E\), puis \(R\).
Correction
Le diagnostic de Fatou était déjà un classifieur : il reste à lui donner son nom.
Naive Bayes
\[ P(c\mid x_1,\dots,x_k)\propto P(c)\prod_{i=1}^k P(x_i\mid c) \]
La classe \(c\) est l’unique parent de chaque attribut \(x_i\) : les attributs sont supposés indépendants sachant la classe. On prédit la classe de plus grand posterior.
Le diagnostic, relu
Classe \(M\), attributs \(Fr\), \(T\), \(TDR\) : le produit \(0{,}40\times0{,}80\times0{,}70\times0{,}95\), normalisé, redonne 0,990, comme les trois mises à jour successives.
Lecture. « Naïf » désigne l’hypothèse d’indépendance conditionnelle, rarement exacte ; le classifieur reste un des plus utilisés pour le texte.
P_SPAM = {"spam": 0.30, "legitime": 0.70}
MOTS = {"gratuit": {"spam": 0.80, "legitime": 0.05},
"offre": {"spam": 0.60, "legitime": 0.10},
"cliquez": {"spam": 0.70, "legitime": 0.08}}
def naive_bayes(mots):
score = dict(P_SPAM)
for w in mots:
for c in score:
score[c] = score[c] * MOTS[w][c]
z = sum(score.values())
return {c: round(s / z, 4) for c, s in score.items()}
print(naive_bayes(["gratuit", "offre", "cliquez"]))
print(naive_bayes(["offre"]))Résultat \(\rightarrow\)
{'spam': 0.9972, 'legitime': 0.0028}
{'spam': 0.72, 'legitime': 0.28}Le calcul
spam : \(0{,}30\times0{,}80\times0{,}60\times0{,}70=0{,}1008\)
légitime : \(0{,}70\times0{,}05\times0{,}10\times0{,}08=0{,}00028\)
posterior : \(0{,}1008/0{,}10108\approx0{,}9972\)
Lecture. Les trois mots ensemble : spam à 99,72 %. Le mot « offre » seul : \(0{,}18/(0{,}18+0{,}07)=0{,}72\). Chaque mot multiplie la cote par son rapport de vraisemblance (16, 6 et 8,75).
| cette séance | cours de Machine Learning | |
|---|---|---|
| modèle | donné par l’expert | appris sur des données |
| prior | fixé : 40 % de paludisme en août | estimé : fréquence de la classe |
| vraisemblances | connues : 80 % de frissons | estimées par comptage, ou par optimisation |
| inférence | calculer \(P(H\mid E)\) | prédire la classe d’un nouvel exemple |
Compter sur DataSANTÉ-221
Sur les 10 000 patients du jeu de données du cours de ML, 1 176 ont le paludisme : \(P(\text{palu})\approx0{,}118\) ; parmi eux, 894 ont consulté en saison des pluies : \(P(\text{pluies}\mid\text{palu})\approx0{,}760\). Ce sont un prior et une vraisemblance, estimés par comptage.
Lecture. La régression logistique, les réseaux de neurones et les modèles génératifs reprendront la vraisemblance et le posterior ; seule change l’origine des nombres.
Espérance
\[ \mathbb E[X]=\sum_x x\,P(X=x) \]
La moyenne des valeurs de \(X\), pondérée par leurs probabilités : la valeur attendue « en moyenne ». Sachant une observation \(B\), \(\mathbb E[X\mid B]=\sum_x x\,P(X=x\mid B)\).
La durée de traitement
Paludisme 7 jours, grippe 4, autre cause 2. Avec le prior d’août : \(\mathbb E[\text{durée}]=0{,}40\times7+0{,}35\times4+0{,}25\times2=2{,}8+1{,}4+0{,}5=4{,}7\) jours. Sachant les frissons : \(\frac{32}{45}\times7+\frac{7}{30}\times4+\frac1{18}\times2=\frac{271}{45}\approx6{,}02\) jours.
Lecture. La Séance 6 pondère de la même façon les conséquences d’une action par leurs probabilités : c’est l’utilité espérée, puis la valeur d’un état.
| méthode | ce qu’elle calcule | coût | cas de Fatou |
|---|---|---|---|
| jointe + zoom | \(P(X\mid y)\) par le tableau | taille de la jointe | 0,711 |
| Bayes | posterior | un terme par hypothèse | 0,711 ; Paris 0,003 |
| séquentiel | posterior après \(k\) preuves | \(k\) fois Bayes | 0,711, 0,910, 0,990 |
| d-séparation | une indépendance | chemins du graphe | \(S\perp Fr\mid M\) |
| énumération | \(P(X\mid\mathbf e)\) exacte | \(O(d^{\,n})\) | 0,925 ; 120 mult. |
| élimination | \(P(X\mid\mathbf e)\) exacte | \(O(n\,d^{\,w+1})\) | 0,925 ; 27 mult. |
| échantillonnage | une estimation | nombre de tirages | 0,926 (un million) |
| Naive Bayes | la classe la plus probable | linéaire en attributs | 0,990 ; spam 0,9972 |
Lecture. Toutes reposent sur deux règles, la règle du produit et la marginalisation ; elles diffèrent par ce qu’elles supposent du domaine et par ce qu’elles évitent de calculer.
Quelle méthode choisir ?
Lecture. Dans tous les cas, la qualité de la réponse est celle du prior et des tables : un calcul exact sur un modèle faux reste faux.
À retenir
Séance 6 — L’IA qui apprend
Fatou a le paludisme avec une probabilité de 0,990 : faut-il traiter tout de suite, ou attendre un examen de plus ? Une croyance ne dit pas encore quoi faire. La Séance 6 passe de la croyance à la décision : utilité espérée, processus de décision markoviens, équation de Bellman, puis apprentissage par renforcement (Q-learning), avec le Monde de Bouki revisité et un gridworld de Dakar.
Introduction à l’IA — Séance 5 Dr. El Hadji Bassirou TOURÉ • DMI/FST/UCAD
Lecture. Tour 1 : règle du produit : \(P(\text{palu},\text{oui})=0,400\times0,800=0,320\), \(P(\text{palu},\text{non})=0,400\times0,200=0,080\).
Lecture. Tour 2 : règle du produit : \(P(\text{grippe},\text{oui})=0,350\times0,300=0,105\), \(P(\text{grippe},\text{non})=0,350\times0,700=0,245\).
Lecture. Tour 3 : règle du produit : \(P(\text{autre},\text{oui})=0,250\times0,100=0,025\), \(P(\text{autre},\text{non})=0,250\times0,900=0,225\).
Lecture. Ligne 7 : marginalisation, on ajoute la case (palu, oui) ; somme partielle 0,320.
Lecture. Ligne 7 : marginalisation, on ajoute la case (grippe, oui) ; somme partielle 0,425.
Lecture. Ligne 7 : marginalisation, on ajoute la case (autre, oui) ; somme partielle 0,450.
Lecture. Ligne 10 : zoom sur Fr = oui : \(P(\text{palu}\mid\text{oui})=0,320/0,450=0,711\).
Lecture. Ligne 10 : zoom sur Fr = oui : \(P(\text{grippe}\mid\text{oui})=0,105/0,450=0,233\).
Lecture. Ligne 10 : zoom sur Fr = oui : \(P(\text{autre}\mid\text{oui})=0,025/0,450=0,056\).
Lecture. Ligne 11 : 45 % des patients fiévreux ont des frissons.
Lecture. Ligne 12 : la conditionnelle somme à 1 ; le paludisme passe de 0,40 à 0,711.