Logique, inférence, résolution, unification
Département de Mathématiques et Informatique, Faculté des Sciences et Techniques, Université Cheikh Anta Diop de Dakar
Ce que la séance construit
Le langage et le moteur d’un agent qui raisonne : la logique propositionnelle et la logique du premier ordre pour écrire ce qu’il sait, l’inférence pour en tirer ce qu’il ne perçoit pas. Fil rouge : Ousmane dans le Monde de Bouki, une grotte de Kédougou où la hyène Bouki et des puits ne se signalent que par une odeur et une brise.
D’où l’on vient, où l’on va
Amont. L’agent fondé sur un modèle de la Séance 1, qui tient un état interne parce que l’environnement est partiellement observable, et la description PEAS d’une tâche.
Aval. La logique dit où sont les dangers, pas quelle suite d’actions mène à l’or : c’est la recherche (Séance 3). Elle ne connaît que le vrai et le faux : les croyances graduées de la Séance 5 reprendront le Monde de Bouki avec un odorat imparfait, la Séance 6 y prendra des décisions.
En Séance 1, l’agent fondé sur un modèle suivait l’humidité du sol par une formule. Un agent qui raisonne va plus loin : il combine ce qu’il a perçu à des règles générales pour en déduire ce qu’il ne perçoit pas.
La limite du réflexe
Ousmane sent une odeur en \((2,1)\). La règle « si odeur, alors fuir » le ferait reculer, alors que Bouki peut être en \((2,2)\) comme en \((3,1)\) : seule la combinaison avec ce qu’il a perçu ailleurs tranche.
La question de la séance
Comment un agent représente-t-il ce qu’il sait, et comment en tire-t-il, de façon correcte, ce qui en découle ?
Lecture. La réponse de l’IA symbolique : un langage formel, la logique, et des règles d’inférence qui ne produisent que des conséquences.
Base de connaissances, TELL, ASK
La base de connaissances (KB) est un ensemble de formules. TELL y ajoute un percept ou une règle ; ASK demande au moteur d’inférence ce qui découle de la base. À chaque pas : percevoir, TELL, ASK, agir.
C’est un agent fondé sur un modèle : le modèle du monde est la base, sa mise à jour est TELL, le choix de l’action passe par ASK.
Lecture. Le moteur d’inférence ne dépend pas du domaine : changer de domaine, c’est changer les formules de la base.
La grotte de Kédougou
Ousmane explore une grotte en grille \(4\times4\), à la recherche d’or. Bouki, la hyène des contes wolof, occupe une case, un puits une autre ; y entrer est mortel. Il part de \((1,1)\), case sûre ; la case \((i,j)\) est à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\).
Perceptions dans la case courante : une odeur si Bouki est dans une case voisine (nord, sud, est, ouest), une brise si un puits est voisin, un éclat sur l’or. La figure montre la grotte entière ; Ousmane ne voit que ses percepts.
| P | \(+1000\) pour l’or, \(-1000\) pour la mort, \(-1\) par déplacement |
|---|---|
| E | grille \(4\times4\), Bouki, un puits, l’or |
| A | aller au nord, au sud, à l’est, à l’ouest ; ramasser l’or |
| S | odeur, brise, éclat dans la case courante |
| partiellement observable | percepts locaux |
|---|---|
| déterministe | un déplacement réussit |
| séquentiel | chaque pas engage la suite |
| statique | Bouki et le puits restent |
| discret | 16 cases, 5 actions |
| mono-agent | Ousmane seul agit |
Lecture. L’observabilité partielle impose de raisonner ; le déterminisme et la statique rendent la logique adaptée : un fait établi le reste.
| 1854 | Boole, The Laws of Thought : le calcul des propositions |
|---|---|
| 1879 | Frege, Begriffsschrift : les quantificateurs |
| 1956 | Logic Theorist (Newell, Shaw, Simon) : des théorèmes des Principia démontrés par programme |
| 1960, 1962 | Davis et Putnam, puis Davis, Logemann et Loveland : l’algorithme DPLL de satisfiabilité |
| 1965 | Robinson : le principe de résolution et l’unification (Journal of the ACM) |
| 1971 | Cook : SAT est NP-complet |
| 1972 | Prolog (Colmerauer, Roussel, Marseille) : la résolution SLD sur des clauses de Horn |
| années 1970 | MYCIN (Shortliffe, Stanford) : environ 600 règles, chaînage arrière, infections bactériennes |
Lecture. Des lois de la pensée de Boole à Prolog, un même projet : réduire le raisonnement à un calcul sur des symboles.
Le premier langage de la base : des énoncés vrais ou faux, combinés par des connecteurs.
Proposition atomique
Un symbole qui prend la valeur vrai (V) ou faux (F). Son choix est un acte de modélisation : décider ce que l’agent représente.
\(B_{i,j}\) : Bouki est en \((i,j)\) ; \(P_{i,j}\) : un puits est en \((i,j)\) ; \(O_{i,j}\) : odeur perçue en \((i,j)\) ; \(\mathit{Br}_{i,j}\) : brise perçue en \((i,j)\). Avec 16 cases : 64 symboles.
| lecture | exemple | |
|---|---|---|
| \(\neg\) | non | \(\neg B_{1,2}\) |
| \(\land\) | et | \(O_{2,1}\land\neg\mathit{Br}_{2,1}\) |
| \(\lor\) | ou (inclusif) | \(B_{2,2}\lor B_{3,1}\) |
| \(\to\) | si… alors | \(\neg O_{1,1}\to\neg B_{1,2}\) |
| \(\leftrightarrow\) | ssi | \(O_{1,1}\leftrightarrow(B_{1,2}\lor B_{2,1})\) |
Lecture. La dernière formule est une règle du monde : odeur en \((1,1)\) si et seulement si Bouki est dans une case voisine.
Formule bien formée
(1) Un symbole est une formule ; (2) si \(\varphi\) en est une, \(\neg\varphi\) aussi ; (3) si \(\varphi\) et \(\psi\) en sont, \((\varphi\land\psi)\), \((\varphi\lor\psi)\), \((\varphi\to\psi)\), \((\varphi\leftrightarrow\psi)\) aussi ; (4) rien d’autre n’en est une.
Priorité décroissante
\(\neg\), puis \(\land\), puis \(\lor\), puis \(\to\), puis \(\leftrightarrow\) : \(\neg P\land Q\to R\) se lit \(((\neg P)\land Q)\to R\).
L’implication
\(P\to Q\) n’est fausse que si \(P\) est vraie et \(Q\) fausse ; si \(P\) est fausse, \(P\to Q\) est vraie. « Si Dakar est en Europe, alors Touba est sur la Lune » est vraie.
Lecture. La grammaire est récursive : un programme vérifie qu’une suite de symboles est une formule et l’évalue par la même récursion.
Colonnes : \(P\), \(Q\), \(\neg P\), \(P\land Q\), \(P\lor Q\), \(P\to Q\), \(P\leftrightarrow Q\).
Résultat \(\rightarrow\)
True True False True True True True
True False False False True False False
False True True False True True False
False False True False False True TrueLecture. L’implication, avant-dernière colonne, n’est fausse qu’à la deuxième ligne (\(P\) vraie, \(Q\) fausse) ; l’équivalence est l’égalité des valeurs.
Interprétation, modèle
Une interprétation \(m\) donne une valeur à chaque symbole : \(n\) symboles, \(2^n\) interprétations. \(m\) est un modèle de \(\varphi\) si \(\varphi\) est vraie dans \(m\) ; on note \(m\models\varphi\), et \(\mathrm{Mod}(\varphi)\) l’ensemble des modèles.
def regle21(m):
# O21 <-> (B11 ou B22 ou B31) : odeur en (2,1) ssi Bouki voisin
return m["O21"] == (m["B11"] or m["B22"] or m["B31"])
ma = {"O21": True, "B11": False, "B22": True, "B31": False}
mb = {"O21": True, "B11": False, "B22": False, "B31": False}
print(regle21(ma), regle21(mb))
print(2 ** len(ma))Résultat \(\rightarrow\)
True False
16Lecture. ma (odeur, Bouki en \((2,2)\)) est un modèle de la règle ; mb (odeur, aucun Bouki voisin) ne l’est pas. Quatre symboles : 16 interprétations.
Trois statuts
\(\varphi\) est satisfiable si elle a au moins un modèle, valide (une tautologie) si toute interprétation en est un modèle, insatisfiable (une contradiction) si elle n’en a aucun.
| \(P\land Q\) | satisfiable, non valide |
|---|---|
| \(P\lor\neg P\) | valide (tiers exclu) |
| \(P\land\neg P\) | insatisfiable |
Le lien qui fonde la réfutation
\(\varphi\) est valide \(\iff\) \(\neg\varphi\) est insatisfiable.
\(\mathrm{KB}\models\alpha\) \(\iff\) \(\mathrm{KB}\land\neg\alpha\) est insatisfiable.
Lecture. Décider une conséquence revient à décider une insatisfiabilité : c’est le principe de la preuve par réfutation.
Conséquence logique
\(\alpha\) est conséquence logique de KB, noté \(\mathrm{KB}\models\alpha\), si tout modèle de KB est un modèle de \(\alpha\) : \(\mathrm{Mod}(\mathrm{KB})\subseteq\mathrm{Mod}(\alpha)\).
\(\{P,\ P\to Q\}\models Q\) : le seul modèle des prémisses, \(P=Q=\) V, rend \(Q\) vraie.
Lecture. Plus la base contient de formules, moins elle a de modèles, plus elle a de conséquences : chaque percept élimine des mondes possibles.
\(\neg O_{1,1}\) et \(O_{1,1}\leftrightarrow(B_{1,2}\lor B_{2,1})\) donnent \(\neg B_{1,2}\land\neg B_{2,1}\) ; \(O_{2,1}\) et \(O_{2,1}\leftrightarrow(B_{1,1}\lor B_{2,2}\lor B_{3,1})\), avec \(\neg B_{1,1}\), donnent \(B_{2,2}\lor B_{3,1}\) ; de même \((1,2)\) donne \(B_{1,3}\lor B_{2,2}\). Bouki n’occupe qu’une case : \(B_{2,2}\).
Lecture. Après \((2,1)\), deux mondes restent possibles pour Bouki ; l’odeur en \((1,2)\) et l’unicité n’en laissent qu’un.
Sortie \(\rightarrow\)
(False, True, False) True
TrueQuoi, pourquoi, quand ça échoue
Quoi : énumérer les \(2^n\) interprétations et vérifier que \(\alpha\) est vraie dans chaque modèle de KB.
Pourquoi : c’est la définition même de \(\models\) ; la méthode est correcte et complète, et termine toujours en logique propositionnelle.
Quand ça échoue : quand \(n\) grandit. Les 64 symboles de la grotte donnent \(1{,}84\times10^{19}\) interprétations.
Résultat \(\rightarrow\)
3 8
16 6.55e+04
32 4.29e+09
64 1.84e+19Lecture. Chaque symbole de plus double le travail : il faut une méthode qui manipule les formules au lieu d’énumérer les mondes.
Énoncé
\(\varphi_1=P\to(Q\to P)\), \(\varphi_2=(P\to Q)\land(P\land\neg Q)\), \(\varphi_3=((P\to Q)\land(Q\to R))\to(P\to R)\). (a)–(c) Remplir la table et classer chaque formule. (d) Même question pour \((P\land Q)\to R\).
Correction
Pour manipuler les formules plutôt que les mondes, il faut des réécritures qui conservent les modèles : \(\varphi\equiv\psi\) si \(\mathrm{Mod}(\varphi)=\mathrm{Mod}(\psi)\).
| élimination de \(\to\) | \(P\to Q\equiv\neg P\lor Q\) |
|---|---|
| élimination de \(\leftrightarrow\) | \(P\leftrightarrow Q\equiv(P\to Q)\land(Q\to P)\) |
| De Morgan | \(\neg(P\land Q)\equiv\neg P\lor\neg Q\), \(\neg(P\lor Q)\equiv\neg P\land\neg Q\) |
| double négation | \(\neg\neg P\equiv P\) |
| contraposition | \(P\to Q\equiv\neg Q\to\neg P\) |
| distributivité | \(P\lor(Q\land R)\equiv(P\lor Q)\land(P\lor R)\), \(P\land(Q\lor R)\equiv(P\land Q)\lor(P\land R)\) |
| absorption | \(P\land(P\lor Q)\equiv P\), \(P\lor(P\land Q)\equiv P\) |
Lecture. \(\neg(P\to Q)\equiv\neg(\neg P\lor Q)\equiv P\land\neg Q\) : une implication n’est fausse que si la prémisse est vraie et la conclusion fausse.
Littéral, clause, FNC
Un littéral est un symbole ou sa négation ; une clause, une disjonction de littéraux ; une formule est en forme normale conjonctive (FNC) si elle est une conjonction de clauses.
Toute formule a une FNC équivalente ; la clause vide, notée \(\square\), est fausse dans toute interprétation.
Mise en FNC
Lecture. La distribution peut faire exploser la taille : \((P_1\land Q_1)\lor\cdots\lor(P_n\land Q_n)\) donne \(2^n\) clauses.
\(O_{2,1}\leftrightarrow(B_{1,1}\lor B_{2,2}\lor B_{3,1})\) ; étape 1 : \((O_{2,1}\to B_{1,1}\lor B_{2,2}\lor B_{3,1})\land(B_{1,1}\lor B_{2,2}\lor B_{3,1}\to O_{2,1})\) ; étape 2 : \((\neg O_{2,1}\lor B_{1,1}\lor B_{2,2}\lor B_{3,1})\land(\neg(B_{1,1}\lor B_{2,2}\lor B_{3,1})\lor O_{2,1})\) ; étapes 3 et 4 : \(\neg(\ldots)\) devient \(\neg B_{1,1}\land\neg B_{2,2}\land\neg B_{3,1}\), que la distribution répartit en trois clauses.
Résultat \(\rightarrow\)
(O21 | ~B11) & (O21 | ~B22) & (O21 | ~B31) & (B11 | B22 | B31 | ~O21)Lecture. Quatre clauses : une pour « odeur, donc un Bouki voisin », trois pour « un Bouki voisin, donc odeur ». SymPy trouve la même FNC.
Forme normale disjonctive
Une disjonction de conjonctions de littéraux. Une FND est satisfiable si et seulement si l’une de ses conjonctions ne contient pas un littéral et sa négation.
La FND décide la satisfiabilité par un parcours de ses conjonctions, mais sa construction est en général exponentielle : ses conjonctions décrivent des familles de modèles.
Clause de Horn
Une clause d’au plus un littéral positif. Clause définie : exactement un, \(\neg P_1\lor\cdots\lor\neg P_k\lor Q\equiv(P_1\land\cdots\land P_k)\to Q\) ; un fait si \(k=0\). Clause but : aucun littéral positif.
Lecture. Sur des clauses définies, décider \(\mathrm{KB}\models q\) se fait en temps linéaire en la taille de la base : c’est le terrain des chaînages.
Énoncé
Mettre en FNC, en nommant chaque étape : (a) \((P\land Q)\to R\) ; (b) \(\neg(P\lor(Q\land R))\) ; (c) \((P\leftrightarrow Q)\to R\) ; (d) \(\neg((P\to Q)\to R)\). Compter les clauses.
Correction
La vérification de modèles parle des mondes ; une règle d’inférence parle des formules. Le lien entre les deux est le cœur de la logique.
\(\vdash\) et \(\models\)
\(\mathrm{KB}\vdash_i\alpha\) : \(\alpha\) est dérivable de KB par les règles de la procédure \(i\), une manipulation de symboles. \(\mathrm{KB}\models\alpha\) : \(\alpha\) est conséquence logique de KB, une propriété des modèles.
Correction, complétude
La procédure \(i\) est correcte si \(\mathrm{KB}\vdash_i\alpha\) entraîne \(\mathrm{KB}\models\alpha\), complète si \(\mathrm{KB}\models\alpha\) entraîne \(\mathrm{KB}\vdash_i\alpha\).
Lecture. Une procédure correcte ne dérive que des formules vraies dans tous les modèles de la base ; une procédure complète les dérive toutes.
| modus ponens | \(\dfrac{P\to Q P}{Q}\) |
|---|---|
| modus tollens | \(\dfrac{P\to Q \neg Q}{\neg P}\) |
| élimination du \(\land\) | \(\dfrac{P\land Q}{P}\) |
| syllogisme | \(\dfrac{P\to Q Q\to R}{P\to R}\) |
Modus ponens et modus tollens
« Si Amadou rate le bus Dakar Dem Dikk de 7 h, il arrive en retard ; il l’a raté » : il arrive en retard. « Si le thiéboudienne est bien cuit, le riz est tendre ; le riz n’est pas tendre » : il n’est pas bien cuit.
Correctes, non complètes
Avec le seul modus ponens, \(\{P\lor Q,\ P\to R,\ Q\to R\}\) ne dérive pas \(R\), qui en est pourtant conséquence.
Lecture. Chaque règle préserve la vérité ; à elles quatre, elles ne dérivent pas toutes les conséquences : la résolution le fera, par réfutation.
R11 : ni odeur ni brise en \((1,1)\) ; O21, O12 : odeur ; C21, C12 : pas de brise (calme) ; OK\(_{i,j}\) : ni Bouki ni puits en \((i,j)\). Chaque règle est une conséquence des règles du monde (odeur, brise, un seul Bouki).
Résultat \(\rightarrow\)
5 5Lecture. Cinq clauses définies et cinq faits : « \((1,1)\) calme, donc \((1,2)\) et \((2,1)\) sûres », « deux odeurs, donc Bouki en \((2,2)\) ».
agenda (tête à gauche) : R11 O21 C21 O12 C12
agenda (tête à gauche) : O21 C21 O12 C12 OK12 OK21
agenda (tête à gauche) : C21 O12 C12 OK12 OK21
agenda (tête à gauche) : O12 C12 OK12 OK21
agenda (tête à gauche) : C12 OK12 OK21 B22
agenda (tête à gauche) : OK12 OK21 B22
agenda (tête à gauche) : OK21 B22
agenda (tête à gauche) : B22
agenda (tête à gauche) : OK31 OK13
agenda (tête à gauche) : OK13
agenda (tête à gauche) : {vide}
Sortie \(\rightarrow\)
R11O21C21O12C12OK12OK21B22OK31TrueLecture. Initialisation (lignes 1–4, 18) : un compteur de prémisses par règle ; les cinq faits dans l’agenda.
Lecture. Tour 1 : R11 sort ; règles 1, 2 à 0 (ligne 14) ; la ligne 16 ajoute OK12 et OK21.
Lecture. Tour 2 : O21 sort, est inféré ; la ligne 14 décrémente la règle 3, qui attend encore une prémisse.
Lecture. Tour 3 : C21 sort, est inféré ; la ligne 14 décrémente la règle 4, qui attend encore une prémisse.
Lecture. Tour 4 : O12 sort ; règle 3 à 0 (ligne 14) ; la ligne 16 ajoute B22.
Lecture. Tour 5 : C12 sort, est inféré ; la ligne 14 décrémente la règle 5, qui attend encore une prémisse.
Lecture. Tour 6 : OK12 sort, est inféré (ligne 10) ; aucune règle ne l’a en prémisse : rien ne change.
Lecture. Tour 7 : OK21 sort, est inféré (ligne 10) ; aucune règle ne l’a en prémisse : rien ne change.
Lecture. Tour 8 : B22 sort ; règles 4, 5 à 0 (ligne 14) ; la ligne 16 ajoute OK31 et OK13.
Lecture. Tour 9 : OK31 sort, est inféré (ligne 10) ; aucune règle ne l’a en prémisse : rien ne change.
Lecture. Tour 10 : OK13 sort, égal au but \(q\) (ligne 7) : la ligne 8 rend True ; OK13 n’est jamais traité.
Quoi, pourquoi, quand ça échoue
Quoi : partir des faits, et chaque fois que toutes les prémisses d’une règle sont connues, ajouter sa conclusion à l’agenda ; un compteur par règle évite de les revérifier.
Pourquoi : chaque ajout est un modus ponens, donc correct ; sur des clauses définies, il est complet pour les symboles conséquences de la base, en temps linéaire en la taille de la base.
Quand ça échoue : une règle à conclusion disjonctive, \(O_{2,1}\to B_{2,2}\lor B_{3,1}\), n’est pas une clause de Horn ; hors de ce cadre, il est incomplet. Dirigé par les données, il infère aussi l’inutile : OK12, OK21 et OK31 pour prouver OK13.
Lecture. Le chaînage avant convient à un agent qui surveille : chaque percept nouveau déclenche les déductions qu’il permet.
but q : {aucun}pile : {vide}
but q : OK13 pile : {vide}
but q : B22 pile : OK13
but q : O21 pile : OK13 B22
but q : O12 pile : OK13 B22
but q : C12 pile : OK13
but q : {aucun}pile : {vide}
Sortie \(\rightarrow\)
but : OK13but : B22but : O21
but : O12but : C12TrueLecture. Initialisation (ligne 1, 14) : appel sur le but OK13, pile vide.
Lecture. Appel 1 : OK13 n’est pas un fait ; règle 5 (lignes 7–9), la ligne 11 appelle ses prémisses.
Lecture. Appel 2 : B22 n’est pas un fait ; règle 3 (lignes 7–9), la ligne 11 appelle ses prémisses.
Lecture. Appel 3 : le but O21 s’affiche (ligne 2) ; c’est un fait (ligne 3), la ligne 4 rend True.
Lecture. Appel 4 : O12 est un fait (lignes 3–4) ; O21 l’était : B22 est prouvé (ligne 12).
Lecture. Appel 5 : le but C12 s’affiche (ligne 2) ; c’est un fait (ligne 3), la ligne 4 rend True.
Lecture. Retour : C12 et B22 prouvés, OK13 l’est (ligne 12) ; la ligne 14 affiche True.
| chaînage avant | chaînage arrière | |
|---|---|---|
| direction | des faits vers les conclusions | du but vers les faits |
| dirigé par | les données | le but |
| sur la base de Bouki | 9 symboles traités avant OK13 | 5 buts examinés |
| coût | linéaire en la taille de la base | souvent bien moins, limité aux buts utiles |
| risque | conclusions inutiles | boucles, d’où la pile des buts |
| usage | surveillance, systèmes de production | Prolog, diagnostic (MYCIN) |
La pile des buts
Avec \(P\to Q\) et \(Q\to P\), prouver \(P\) demande \(Q\), qui demande \(P\) : sans le test de la ligne 5, la récursion ne termine pas.
Lecture. Les deux sont corrects et, sur des clauses définies, complets pour les symboles ; ils diffèrent par ce qu’ils calculent en route.
Énoncé
Faits I (inscrite), R (examens réussis) ; règles \(I\land R\to V\) (année validée), \(V\to A\) (attestation), \(V\to P\) (passage). (a)–(c) Dérouler le chaînage avant pour le but P (agenda, compteurs). (d) Dérouler le chaînage arrière.
Correction
Résolution
\(\dfrac{\ell\lor A\qquad\neg\ell\lor B}{A\lor B}\)
\(A\), \(B\) : disjonctions, éventuellement vides ; \(A\lor B\) est la résolvante.
\(\dfrac{P\qquad\neg P}{\square}\) : la clause vide.
def neg(l):
return l[1:] if l.startswith("~") else "~" + l
def fmt(c):
tri = sorted(c, key=lambda l: l.lstrip("~"))
return " | ".join(tri) or "[]"
def resolvantes(ci, cj):
out = []
for l in sorted(ci):
if neg(l) in cj:
r = (ci - {l}) | (cj - {neg(l)})
if not any(neg(x) in r for x in r):
out.append(r)
return out
def noter(r, c, d):
print(fmt(r), ":", fmt(c), "+", fmt(d))
print([fmt(r) for r in resolvantes(frozenset({"~O21", "B22"}),
frozenset({"O21"}))])Résultat \(\rightarrow\)
['B22']Lecture. \(\neg O_{2,1}\lor B_{2,2}\) et \(O_{2,1}\) donnent \(B_{2,2}\) : le modus ponens est une résolution. Les résolvantes tautologiques sont écartées.
Théorème de réfutation
\(\mathrm{KB}\models\alpha\) si et seulement si \(\mathrm{KB}\land\neg\alpha\) est insatisfiable.
Prouver \(\mathrm{KB}\models\alpha\)
Résultat \(\rightarrow\)
['B22 | B31', 'B13 | B22', '~B13 | ~B22', '~B13 | ~B31', '~B22 | ~B31']But \(\alpha=B_{2,2}\) ; but nié : \(\neg B_{2,2}\).
Ensemble de support
Ne résoudre que des paires dont une clause vient du but nié ou de ses descendantes. Si KB est satisfiable, la réfutation reste complète (Wos, Robinson, Carson, 1965).
support (tête à gauche) : \(\neg\)B22
support (tête à gauche) : B31 B13
support (tête à gauche) : B13 \(\neg\)B13
support (tête à gauche) : \(\neg\)B13 \(\neg\)B31
support (tête à gauche) : \(\neg\)B31 B22
Sortie \(\rightarrow\)
B31 : ~B22 + B22 | B31B13 : ~B22 + B13 | B22~B13 : B31 + ~B13 | ~B31
~B31 : B13 + ~B13 | ~B31B22 : ~B13 + B13 | B22[] : ~B13 + B13
TrueLecture. Initialisation (lignes 1–3, 16) : cinq clauses de KB traitées ; le support contient le but nié \(\neg B_{2,2}\).
Lecture. Tour 1 : \(\neg B_{2,2}\) sort du support ; la ligne 12 y ajoute \(B_{3,1}\) et \(B_{1,3}\) ; la ligne 14 la range.
Lecture. Tour 2 : \(B_{3,1}\) sort du support ; la ligne 12 y ajoute \(\neg B_{1,3}\) ; la ligne 14 la range.
Lecture. Tour 3 : \(B_{1,3}\) sort du support ; la ligne 12 y ajoute \(\neg B_{3,1}\) ; la ligne 14 la range.
Lecture. Tour 4 : \(\neg B_{1,3}\) donne \(B_{2,2}\) avec la clause 2, puis la clause vide avec \(B_{1,3}\) (ligne 8) : KB \(\models B_{2,2}\).
Quoi, pourquoi, quand ça échoue
Quoi : saturer \(\mathrm{KB}\land\neg\alpha\), mise en clauses, par résolution, jusqu’à la clause vide ou jusqu’à ce que plus rien de nouveau n’apparaisse.
Pourquoi : la résolution est correcte (toute résolvante est conséquence de ses deux parents, donc \(\square\) prouve l’insatisfiabilité) et complète pour la réfutation : tout ensemble de clauses insatisfiable mène à \(\square\) (Robinson, 1965). En propositionnel, le nombre de clauses possibles est fini : la saturation termine.
Quand ça échoue : la saturation peut produire un nombre exponentiel de clauses ; sur la même base, toutes les paires produisent 9 clauses nouvelles avant \(\square\), l’ensemble de support 5.
Complète pour la réfutation, pas pour la génération
La résolution ne dérive pas toute conséquence : de \(P\), elle ne tire pas \(P\lor Q\). Elle réfute \(\neg(P\lor Q)\), c’est-à-dire \(\neg P\) et \(\neg Q\), avec \(P\).
SAT
Décider si une formule en FNC est satisfiable : le premier problème démontré NP-complet (Cook, 1971) ; la validité est co-NP-complète.
DPLL (1962) combine retour arrière, propagation unitaire et littéraux purs ; les solveurs actuels y ajoutent l’apprentissage de clauses de conflit et traitent des millions de variables (vérification de circuits, planification).
Résultat \(\rightarrow\)
[(B13, False), (B22, True), (B31, False)]
FalseLecture. SymPy énumère un seul modèle pour la base de Bouki, \(B_{2,2}\) vrai ; KB \(\land\neg B_{2,2}\) est insatisfiable : KB \(\models B_{2,2}\).
Énoncé
C1 : \(P\lor Q\), C2 : \(\neg P\lor R\), C3 : \(\neg Q\lor R\), C4 : \(\neg R\). (a)–(c) Dériver de nouvelles clauses jusqu’à \(\square\) ; la base est-elle satisfiable ? (d) Et sans C4 ?
Correction
La logique propositionnelle ne parle que de faits particuliers : elle n’a ni objets, ni relations, ni « pour tout ».
Une règle par case
La règle de l’odeur s’écrit 16 fois, une par case ; l’unicité de Bouki demande \(\binom{16}{2}=120\) clauses \(\neg B_{i,j}\lor\neg B_{k,l}\). Une grotte \(10\times10\) : 100 règles, 4 950 clauses.
À l’UCAD
« Tout étudiant inscrit paie ses droits » : une implication par étudiant, \(\mathit{InscritFatou}\to\mathit{PaieFatou}\), … ; en logique du premier ordre, une seule formule :
\(\forall x\,(\mathit{Inscrit}(x)\to\mathit{Paie}(x))\).
Lecture. La logique du premier ordre ajoute des objets, des propriétés et relations entre objets, et des quantificateurs.
| constantes | \(\mathit{Fatou}\), \(\mathit{Dakar}\), \(\mathit{IA}\) |
|---|---|
| variables | \(x\), \(y\), \(z\) |
| fonctions | \(\mathit{pere}(x)\), \(\mathit{encadrant}(x)\) |
| prédicats | \(\mathit{Etudiant}(x)\), \(\mathit{Enseigne}(x,y)\) |
| quantificateurs | \(\forall\) (pour tout), \(\exists\) (il existe) |
| connecteurs | \(\neg,\land,\lor,\to,\leftrightarrow\), et \(=\) |
Terme, atome
Un terme désigne un objet : une constante, une variable, ou \(f(t_1,\ldots,t_n)\) avec des termes \(t_i\). Un atome applique un prédicat à des termes : \(\mathit{Enseigne}(\mathit{DrToure},\mathit{IA})\), vrai ou faux.
Une fonction rend un objet, un prédicat une valeur de vérité : \(\mathit{pere}(\mathit{Fatou})\) est une personne, \(\mathit{Etudiant}(\mathit{Fatou})\) un énoncé.
\(\forall\) et \(\exists\)
\(\forall x\,\varphi\) est vraie si \(\varphi\) est vraie pour tout objet du domaine ; un contre-exemple la rend fausse. \(\exists x\,\varphi\) est vraie si \(\varphi\) l’est pour au moins un objet ; un témoin la rend vraie.
Une variable est liée sous la portée d’un quantificateur, libre sinon ; une formule sans variable libre est close.
\(\forall\) avec \(\to\), \(\exists\) avec \(\land\)
\(\forall x\,(\mathit{Etudiant}(x)\to\mathit{Paie}(x))\) : tout étudiant paie. Avec \(\land\) : tout objet du domaine, salle ou cours compris, serait un étudiant qui paie.
\(\exists x\,(\mathit{Etudiant}(x)\land\mathit{Boursier}(x))\) : un étudiant boursier existe. Avec \(\to\) : vraie dès qu’un objet n’est pas étudiant.
\(\forall x\,\exists y\,\mathit{Inscrit}(x,y)\) : chacun suit un cours, pas forcément le même. \(\exists y\,\forall x\,\mathit{Inscrit}(x,y)\) : un même cours pour tous ; la seconde entraîne la première, pas l’inverse.
Dualité des quantificateurs
\(\neg\forall x\,\varphi\equiv\exists x\,\neg\varphi\) \(\neg\exists x\,\varphi\equiv\forall x\,\neg\varphi\)
ETUDIANTS = ["Fatou", "Amadou", "Awa"]
COURS = ["IA", "ML"]
INSCRIT = {("Fatou", "IA"), ("Amadou", "IA"), ("Awa", "ML")}
# pour tout x, il existe y : Inscrit(x, y)
print(all(any((x, y) in INSCRIT for y in COURS) for x in ETUDIANTS))
# il existe y, pour tout x : Inscrit(x, y)
print(any(all((x, y) in INSCRIT for x in ETUDIANTS) for y in COURS))Résultat \(\rightarrow\)
True
FalseLecture. Sur un domaine fini, \(\forall\) est un all et \(\exists\) un any : Fatou suit IA, Amadou IA, Awa ML ; aucun cours n’est commun aux trois.
Structure
Une interprétation fixe un domaine \(D\) non vide, un objet de \(D\) pour chaque constante, une fonction \(D^n\to D\) pour chaque fonction, une relation \(\subseteq D^n\) pour chaque prédicat. \(\models\) se définit comme avant : tout modèle de KB est un modèle de \(\alpha\).
Une structure de l’UCAD
\(D=\{\mathit{Fatou},\mathit{Amadou},\mathit{DrToure},\mathit{IA},\mathit{ML}\}\) ; \(\mathit{Enseigne}=\{(\mathit{DrToure},\mathit{IA})\}\) : \(\mathit{Enseigne}(\mathit{DrToure},\mathit{IA})\) est vraie, \(\mathit{Enseigne}(\mathit{Fatou},\mathit{ML})\) fausse.
Lecture. Les domaines peuvent être infinis : on ne peut plus énumérer les modèles, il faut raisonner sur les formules.
Les cases deviennent des objets, \([i,j]\) ; trois formules remplacent les 16 règles et les 120 clauses.
| odeur | \(\forall c\,(\mathit{Odeur}(c)\leftrightarrow\exists d\,(\mathit{Voisine}(c,d)\land\mathit{Bouki}(d)))\) |
|---|---|
| brise | \(\forall c\,(\mathit{Brise}(c)\leftrightarrow\exists d\,(\mathit{Voisine}(c,d)\land\mathit{Puits}(d)))\) |
| unicité | \(\forall c\,\forall d\,((\mathit{Bouki}(c)\land\mathit{Bouki}(d))\to c=d)\) |
| voisinage | \(\forall i\,\forall j\,\forall k\,\forall l\,(\mathit{Voisine}([i,j],[k,l])\leftrightarrow |i-k|+|j-l|=1)\) |
| percepts | \(\neg\mathit{Odeur}([1,1])\), \(\mathit{Odeur}([2,1])\), \(\mathit{Odeur}([1,2])\) |
Lecture. La taille de la base ne dépend plus de la grille ; le prix est la perte de la décision par énumération.
Énoncé
Formaliser, puis évaluer dans la structure : (1) tout étudiant est inscrit à au moins un cours ; (2) un cours réunit tous les étudiants ; (3) aucun professeur n’est étudiant ; (4) un étudiant réussit tous ses cours. \(E\), \(C\), \(I\), \(P\), \(R\) : Etudiant, Cours, Inscrit, Prof, Reussit.
Correction
Pour résoudre au premier ordre, il faut des clauses : les quantificateurs doivent disparaître.
Forme prénexe
Tous les quantificateurs en tête, puis une matrice sans quantificateur : \((\forall x\,P(x))\to(\exists y\,Q(y))\) devient \(\exists x\,\exists y\,(\neg P(x)\lor Q(y))\), après élimination de \(\to\) et dualité.
Skolémisation
Chaque \(\exists y\) est remplacé par une fonction de Skolem nouvelle des variables universelles qui le précèdent : \(\forall x\,\exists y\,\mathit{Aime}(x,y)\) devient \(\forall x\,\mathit{Aime}(x,f(x))\) ; sans \(\forall\) devant, une constante de Skolem : \(\exists y\,\forall x\,\mathit{Aime}(x,y)\) devient \(\forall x\,\mathit{Aime}(x,c)\).
Équisatisfiable, pas équivalente
La formule skolémisée est satisfiable si et seulement si l’originale l’est ; elles ne sont pas équivalentes. C’est ce que demande la réfutation, qui ne teste que l’insatisfiabilité.
Mise en clauses
Tout étudiant a un encadrant professeur
\(\forall x\,(\mathit{Etudiant}(x)\to\exists y\,(\mathit{Prof}(y)\land\mathit{Encadre}(y,x)))\)
1–4 : \(\forall x\,\exists y\,(\neg\mathit{Etudiant}(x)\lor(\mathit{Prof}(y)\land\mathit{Encadre}(y,x)))\)
5–6 : \(y\) dépend de \(x\), \(y\mapsto f(x)\) : \(\neg\mathit{Etudiant}(x)\lor(\mathit{Prof}(f(x))\land\mathit{Encadre}(f(x),x))\)
7–8 : \(C_1=\neg\mathit{Etudiant}(x)\lor\mathit{Prof}(f(x))\)
\(C_2=\neg\mathit{Etudiant}(x)\lor\mathit{Encadre}(f(x),x)\)
Lecture. \(f(x)\) est « l’encadrant de \(x\) » : le témoin de l’existentielle devient un terme calculé à partir de \(x\).
Substitution, unificateur
Une substitution \(\theta=\{x_1/t_1,\ldots,x_n/t_n\}\) remplace simultanément chaque \(x_i\) par \(t_i\) ; \(E\theta\) est le résultat. \(\theta\) unifie \(E_1\) et \(E_2\) si \(E_1\theta=E_2\theta\).
\(\mathit{Inscrit}(x,\mathit{IA})\) et \(\mathit{Inscrit}(\mathit{Awa},y)\) : \(\{x/\mathit{Awa},y/\mathit{IA}\}\).
Unificateur le plus général (UPG)
\(\theta\) est un UPG de \(E_1\) et \(E_2\) si tout unificateur \(\sigma\) s’écrit \(\sigma=\theta\lambda\) (\(\theta\), puis une substitution \(\lambda\)). Deux termes unifiables ont un UPG, unique à un renommage des variables près (Robinson, 1965).
\(P(x)\) et \(P(y)\) : \(\{x/y\}\) est un UPG ; \(\{x/\mathit{Fatou},y/\mathit{Fatou}\}\) unifie aussi, mais il s’obtient de \(\{x/y\}\) par \(\{y/\mathit{Fatou}\}\).
Lecture. L’UPG fixe le moins possible : la résolution garde ainsi les conclusions les plus générales.
Une variable est une chaîne qui commence par une minuscule, une constante commence par une majuscule, un terme composé est un tuple (symbole, arguments).
Lecture. lier suit les liaisons déjà posées, puis refuse \(v/t\) si \(v\) apparaît dans \(t\) : c’est le test d’occurrence.
substitution \(s\) : {vide}
substitution \(s\) : {vide}
substitution \(s\) : x/Fatou
substitution \(s\) : x/Fatou z/pere(x)
substitution \(s\) : x/Fatou z/pere(x)
substitution \(s\) : x/Fatou z/pere(x) y/pere(x)
substitution \(s\) : x/Fatou z/pere(x) y/pere(x)
Sortie \(\rightarrow\)
{'x': 'Fatou', 'z': ('pere', 'x'), 'y': ('pere', 'x')}Lecture. Initialisation (lignes 1, 17–19) : appel sur E1 et E2 avec la substitution vide.
Lecture. Appel 1 : deux termes composés, même symbole, même arité (ligne 12) ; la ligne 15 unifie les arguments un à un.
Lecture. Appel 2 : \(x\) est une variable (ligne 6) ; la ligne 7 la lie : \(x/\mathit{Fatou}\).
Lecture. Appel 3 : \(z\) est une variable (ligne 8) ; la ligne 9 la lie à \(\mathit{pere}(x)\), après le test d’occurrence.
Lecture. Appel 4 : \(y\) face à \(z\), déjà lié : lier reprend avec la valeur de \(z\), \(\mathit{pere}(x)\).
Lecture. Appel 5 : \(y\) variable (ligne 6) ; \(y\) n’apparaît pas dans \(\mathit{pere}(x)\) : la ligne 7 lie \(y\).
Lecture. Retour : la ligne 16 rend \(s\) ; \(s\) appliquée jusqu’au bout donne l’UPG, avec \(\mathit{pere}(\mathit{Fatou})\).
Le dictionnaire rendu est triangulaire : \(z/\mathit{pere}(x)\) contient \(x\), lui-même lié. L’appliquer jusqu’au bout donne l’UPG.
Résultat \(\rightarrow\)
{'x': 'Fatou', 'y': ('pere', 'Fatou'), 'z': ('pere', 'Fatou')}
TrueLecture. UPG : \(\{x/\mathit{Fatou},\ y/\mathit{pere}(\mathit{Fatou}),\ z/\mathit{pere}(\mathit{Fatou})\}\) ; les deux termes deviennent \(\mathit{Accompagne}(\mathit{Fatou},\mathit{pere}(\mathit{Fatou}),\mathit{pere}(\mathit{Fatou}))\).
Résultat \(\rightarrow\)
None
None
{'x': 'Awa', 'y': 'IA'}Conflit de symboles
\(\mathit{Aime}(x,x)\) et \(\mathit{Aime}(\mathit{Awa},\mathit{Fatou})\) : \(x/\mathit{Awa}\), puis \(\mathit{Awa}\) face à \(\mathit{Fatou}\), deux constantes distinctes. Ce n’est pas le test d’occurrence.
Test d’occurrence
\(\mathit{Parent}(x,f(x))\) et \(\mathit{Parent}(y,y)\) : \(x/y\), puis \(y\) face à \(f(y)\). \(y\) apparaît dans \(f(y)\) : aucune substitution finie ne convient (\(y=f(f(f(\ldots)))\)).
Lecture. Prolog omet le test d’occurrence par défaut, pour la vitesse : il peut alors « prouver » une conclusion qui n’est pas conséquence de la base.
Résolution avec unification
Deux clauses sans variable commune (renommées), \(\ell\lor A\) et \(\neg m\lor B\), avec \(\theta\) UPG de \(\ell\) et \(m\) : la résolvante est \((A\lor B)\theta\).
\(\neg\mathit{Etudiant}(x)\lor\mathit{Prof}(f(x))\) et \(\mathit{Etudiant}(\mathit{Awa})\), \(\theta=\{x/\mathit{Awa}\}\) : \(\mathit{Prof}(f(\mathit{Awa}))\), l’encadrant d’Awa est professeur.
Complétude et semi-décidabilité
Avec la factorisation (unifier deux littéraux d’une même clause), la résolution est correcte et complète pour la réfutation (Robinson, 1965). Mais \(\models\) n’est que semi-décidable (Church, Turing, 1936) : si \(\mathrm{KB}\models\alpha\), la réfutation finit par trouver \(\square\) ; sinon, elle peut ne jamais s’arrêter.
Lecture. Les démonstrateurs automatiques comme Vampire ou E, et Prolog sur les clauses de Horn, reposent sur cette règle et sur l’unification.
Énoncé
\(E\), \(I\), \(A\) : Enseigne, Inscrit, Aime ; \(x\), \(y\), \(z\) variables ; Dakar, IA, ML, Fatou, Amadou, DrToure constantes. Unifier chaque paire : UPG ou cause de l’échec.
Correction
L’application la plus connue de l’IA symbolique : un agent fondé sur les connaissances dont la base contient le savoir d’un expert.
MYCIN (Stanford, années 1970)
Thèse d’Edward Shortliffe : environ 600 règles sur les infections bactériennes, un moteur en chaînage arrière, des facteurs de certitude entre \(-1\) et \(+1\). Sur des méningites, évaluées à l’aveugle par huit infectiologues, ses prescriptions ont été jugées acceptables dans 65 % des 80 évaluations (10 cas, 8 évaluateurs), contre 42,5 à 62,5 % pour cinq médecins de la faculté.
Lecture. Chaque règle se négocie avec un expert : c’est le goulot d’étranglement de l’acquisition des connaissances, que le Machine Learning contourne en apprenant des données.
REGLES_M = [(["fievre", "frissons", "pluies"], "suspect_palu"),
(["fievre", "toux", "rhinite"], "suspect_grippe"),
(["suspect_palu"], "TDR"), (["suspect_grippe"], "repos")]
def diagnostic(faits):
connus = set(faits)
nouveau = True
while nouveau:
nouveau = False
for pr, c in REGLES_M:
if set(pr) <= connus and c not in connus:
connus.add(c)
nouveau = True
return sorted(connus - set(faits))
palu = ["fievre", "frissons", "pluies"]
print("Fatou :", diagnostic(palu))
print("Moussa :", diagnostic(palu + ["toux", "rhinite"]))Résultat \(\rightarrow\)
Fatou : ['TDR', 'suspect_palu']
Moussa : ['TDR', 'repos', 'suspect_grippe', 'suspect_palu']Lecture. Moussa déclenche les deux règles : paludisme et grippe, sans dire lequel est le plus probable ; la logique classique n’a pas de degré (Séance 5).
Le calcul symbolique, ou calcul formel, applique des règles de réécriture aux expressions (dérivée d’un produit, d’un sinus) : un raisonnement sur des symboles, exact pour tout \(x\).
Résultat \(\rightarrow\)
2*x + cos(x)
x**3/3 - cos(x)
1.878343 1.877583Lecture. La dérivée formelle donne \(2x+\cos x\) ; en \(x=0{,}5\), elle vaut \(1{,}877583\), le quotient différentiel avec \(h=0{,}001\) donne \(1{,}878343\) : une erreur de l’ordre de \(h\).
Résultat \(\rightarrow\)
2*x
[2, 3]
30000 20000Transport \(t\) et repas \(r\) d’un étudiant : \(t+r=50\,000\) francs CFA ; si le transport doublait, \(2t+r=80\,000\).
from sympy import simplify_logic, Implies
P, Q, R = symbols("P Q R")
print(simplify_logic(Or(And(P, Q), And(P, Not(Q)))))
print(simplify_logic(Implies(P, Implies(Q, P))))
phi = Implies(Or(P, Q), And(R, Not(P)))
print(to_cnf(phi))
print(to_cnf(phi, simplify=True))
print(satisfiable(And(P, Implies(P, Q), Not(Q))))Résultat \(\rightarrow\)
P
True
~P & (R | ~P) & (R | ~Q) & (~P | ~Q)
~P & (R | ~Q)
FalseLecture. simplify_logic réduit \((P\land Q)\lor(P\land\neg Q)\) à \(P\) ; to_cnf rend une FNC, non simplifiée par défaut ; \(P\land(P\to Q)\land\neg Q\) est insatisfiable.
| méthode | correcte, complète | coût | sur Bouki |
|---|---|---|---|
| vérification de modèles | oui, oui | \(2^n\) interprétations | 8 interprétations, 1 modèle |
| chaînage avant | oui, oui sur des clauses de Horn | linéaire | 9 symboles traités |
| chaînage arrière | oui, oui sur des clauses de Horn | limité aux buts utiles | 5 buts |
| résolution | oui, complète pour la réfutation | exponentiel au pire | 5 clauses, puis \(\square\) |
| premier ordre (unification) | oui, semi-décidable | sans borne | UPG \(\{x/\mathit{Fatou},\ldots\}\) |
Lecture. Plus le langage est expressif, plus la décision coûte : énumérable en propositionnel, semi-décidable au premier ordre.
Quelle méthode pour quelle base ?
À retenir
Séance 3 — L’IA qui cherche
Ousmane sait désormais quelles cases sont sûres ; la logique ne lui dit pas quel chemin prendre jusqu’à l’or. La Séance 3 formule un problème de recherche (états, actions, coûts, but) et le résout par les algorithmes BFS, DFS, UCS, A* et la recherche locale, sur la route de Dakar à Touba. La question de la séance : comment un agent trouve-t-il une suite d’actions qui mène à son but ?
Introduction à l’IA — Séance 2 Dr. El Hadji Bassirou TOURÉ • DMI/FST/UCAD
Lecture. Initialisation (lignes 1–2, 7–8, 15) : symboles, base, appel ; aucune interprétation vue.
Lecture. Tour 1 : FFF ; \(r_1\) et \(r_2\) sont fausses (lignes 3–6) : la ligne 11 écarte cette interprétation.
Lecture. Tour 2 : FFV ; \(r_2\) est fausse (lignes 3–6) : la ligne 11 écarte cette interprétation.
Lecture. Tour 3 : FVF rend vraies \(r_1\), \(r_2\) et l’unicité : un modèle de KB ; la ligne 12 affiche \(\alpha\), vraie.
Lecture. Tour 4 : FVV ; l’unicité est fausse (lignes 3–6) : la ligne 11 écarte cette interprétation.
Lecture. Tour 5 : VFF ; \(r_1\) est fausse (lignes 3–6) : la ligne 11 écarte cette interprétation.
Lecture. Tour 6 : VFV ; l’unicité est fausse (lignes 3–6) : la ligne 11 écarte cette interprétation.
Lecture. Tour 7 : VVF ; l’unicité est fausse (lignes 3–6) : la ligne 11 écarte cette interprétation.
Lecture. Tour 8 : VVV ; l’unicité est fausse (lignes 3–6) : la ligne 11 écarte cette interprétation.
Lecture. Ligne 14 :
okest resté vrai ; \(\alpha=B_{2,2}\) est vraie dans l’unique modèle : KB \(\models B_{2,2}\).